Question

calcular la derivada de la siguiente función utilizando la definición:
f(x)=1/raizx

Answer 1

Si f(x) = 1/√x,  entonces: $f'(x) =\frac{-1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Sea f(x) una función derivable entonces nos piden calcular la derivada por definición:

La derivada por definición de una función es:

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

f(x+h) sera la función evaluada en el punto x + h, es decir, donde tengamos x sustituimos por x + h

Tenemos la función f(x) = 1/√x, su derivada sera:

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h}*\sqrt{x}}}{h}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{h*\sqrt{x+h}*\sqrt{x}}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{h*\sqrt{x+h}*\sqrt{x}} *\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{x-x-h}{h*\sqrt{x+h}*\sqrt{x}} *\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{-h}{h*\sqrt{x+h}*\sqrt{x}} *\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}$

$f'(x) =\lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x+h}*\sqrt{x}} *\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}$

$f'(x) =\frac{-1}{\sqrt{x+0}*\sqrt{x}} *\frac{1}{\sqrt{0}+\sqrt{x+0}}$

$f'(x) =\frac{-1}{\sqrt{x}*\sqrt{x}} *\frac{1}{\sqrt{x}}$

$f'(x) =\frac{-1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$