Question

Se define la transformación T:R^3→R^3, dado por T(x_1,x_2,x_3)=(4x1+2x2,0,x1+3x3-2), demuestre que no es una transformación lineal.

Answer 1

En la transformación dada si tenemos un escalar a y un vector V entonces T(aV) ≠ a*T(V) y por lo tanto no es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función en los espacios vectoriales y que satisface:

Sea V, W y T una transformación lineal y a un escalar

1. T(V + W) = T(V) + T(W)

2. T(aV) = a*T(V)

Tenemos la transformación:

T(x1,x2,x3)=(4x1+2x2, 0 , x1+3x3-2):

Sea a un escarlar y V = (x1, x2, x3) un vector:

T(aV) = T(ax1, ax2, ax3) = (4ax1 + 2ax2, 0 , ax1 + 3ax3 - 2)

Ahora:

aT(V) = a*(4x1+2x2, 0, x1+3x3-2) = (4ax1 + 2ax2, 0 , ax1 +3ax3 - 2a)

Si nos fijamos la tercera componente de T(aV) es distinta a la de a*T(V)

Por lo tanto T(aV) ≠ a*T(V)

Por lo que no es una transformación lineal.