los grupos y el deporte
La siguiente parábola modeliza la trayectoria de una pelota de voley desde que es tocada por un jugador hasta que cae al suelo.
Observa la gráfica y responde:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
b) Teniendo en cuenta al jugador que toca la pelota ¿cuál es la distancia horizontal que existe entre él y el punto donde la pelota toca el suelo?
c) Si consideramos que “x” es la distancia recorrida horizontalmente e “y” es la altura, ¿cuál de las siguientes fórmulas se corresponde con la gráfica? Justificá tu respuesta.
i) y = -½ x + 5
ii) y = -½ x2 + 2x + 2,5
iii) y = -½ (x - 2)2 + 4,5
vi) y = x2 - 5 x
Respuestas
El jugador golpea la pelota y esta sube hasta 4,5 m y cae a 5 m de distancia horizontal de la posición del jugador.
Explicación paso a paso:
Observa la gráfica y responde:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
El punto máximo de la gráfica es (2, 9/2); es decir, la altura máxima alcanzada por la pelota es de 9/2 = 4,5 m.
b) Teniendo en cuenta al jugador que toca la pelota ¿cuál es la distancia horizontal que existe entre él y el punto donde la pelota toca el suelo?
El jugador que toca la pelota está ubicado en el origen de coordenadas y su vertical coincide con el eje y (altura); por lo tanto, la distancia horizontal que lo separa del punto de contacto de la pelota con el suelo es la distancia, sobre el eje x (distancia horizontal), desde el origen hasta el intercepto en x de la gráfica de la parábola, o sea, 5 m.
c) Si consideramos que “x” es la distancia recorrida horizontalmente e “y” es la altura, ¿cuál de las siguientes fórmulas se corresponde con la gráfica? Justifica tu respuesta.
i) y = -½ x + 5
ii) y = -½ x2 + 2x + 2,5
iii) y = -½ (x - 2)² + 4,5
iv) y = x2 - 5 x
Tenemos una parábola de eje vertical y sentido de abertura negativo. La ecuación canónica de esta parábola es:
(x - h)² = -4p(y - k) donde (h, k) es el vértice y p es la distancia focal.
De la gráfica sabemos que el vértice es de coordenadas (2, 9/2) y que la parábola pasa por los puntos (5, 0) y (0, 5/2). podemos conocer el valor de p sustituyendo el vértice y uno de los puntos en la ecuación canónica:
((5) - (2))² = -4p((0) - (9/2)) ⇒ 9 = 18p ⇒ p = 1/2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:
(x - 2)² = -4(1/2)(y - 9/2) ⇒ y = -(1/2)(x - 2)² + 9/2
Es decir, el item iii)