Question

la profesora sonia tiene cierta cantidad de caramelos, si los agrupa de 5 en 5 le sobran 3. si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5, pero si los agrupa de 6 en 6, le faltan 2. hallar el numero de caramelos que tiene la profesora sonia si es menor que 300
necesito resolucion porfavor

Answer 1

Respuesta: 208 caramelos

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar N al número de caramelos que tiene Sonia

Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 5 en 5 le sobran 3

Esto se puede expresar como N = 5ᶬ + 3

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 7 en 7 le sobran 5

Esto se puede expresar como N = 7ᶬ + 5

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 6 en 6 le faltan 2

Esto se puede expresar como N = 6ᶬ - 2

Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número tiene diferentes divisores con el mismo resto, entonces el número es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos divisores con ese mismo resto.

Tenemos que N = 5ᶬ + 3

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 5

entonces N = 5ᶬ - 2

Tenemos que N = 7ᶬ + 5

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 7

entonces N = 7ᶬ - 2

Resumiendo, tenemos

N = 5ᶬ - 2

N = 7ᶬ - 2

N = 6ᶬ - 2

Entonces el número de caramelos buscado es múltiplo de 5, 7 y 6 menos 2 unidades

N = [M.C.M.(5,7,6)]ᶬ - 2

Factorizamos los números

5 = 5

7 = 7

6 = 2×3

El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente M.C.M. = 5×7×2×3 = 210

El número de caramelos es un múltiplo de 210ᶬ - 2 caramelos

Pero en el enunciado se dice que el número es menor que 300.

Número de caramelos es N = 210 - 2 = 208 caramelos

Respuesta 208 caramelos

Verificación

208 caramelos de 5 en 5 sobran => 208(mod 5) = 3 sobran 3

[208/5 = 41,... ], [41×5 = 205] , [208-205 = 3]

208 caramelos de 7 en 7 sobran => 208(mod 7) = 5 sobran 5

[208/7 = 29,... ], [29×7 = 203] , [208-203 = 5]

208 caramelos de 6 en 6 => 208(mod 6) = 4 - 6 = -2  faltan 2

[208/6 = 34,... ], [34×6 = 204] , [208-204 = 4]

Quedando verificada la solución

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$