Question

En un rombo ABCD, M es punto medio de BC, la diagonal
BD corta a AM en el punto R. Si, RM = 10 y el ángulo BRM
mide 53°, halla BD.​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Puntos Notables

$\textbf{Problema :}$

En un rombo $\textrm{ABCD}$, $\textrm{M}$ es punto medio de $\overline{\textrm{BC}}$, la diagonal  $\overline{\textrm{BD}}$ corta a $\overline{\textrm{AM}}$ en el punto $\textrm{M}$. Si, $\textrm{RM} = 10$ y el ángulo $\textrm{m} \angle \textrm{BRM}$  mide 53°, halla $\textrm{BD}$.

RESOLUCIÓN​

Para la resolución del problema solo nos enfocaremos en el triángulo $\triangle \textrm{ABC}$

Debido a que estudiamos un rombo entonces $\textrm{AB} = \textrm{BC}$ al trazar la altura del triángulo isósceles $\overline{\textrm{BO}}$ esta es mediatriz del segmento $\overline{\textrm{AC}}$.

Notemos que $\overline{\textrm{AM}}$ y $\overline{\textrm{BO}}$ son medianas y se interceptan en $\textrm{R}$ con lo cual $\textrm{R}$ es el baricentro del triángulo $\triangle \textrm{ABC}$ y por propiedad del baricentro $\textrm{BR} = 2\ \textrm{OR}$

Pero antes asumamos que $\textrm{OR} = 6a$ con lo cual, apoyándonos en los triángulos notables $\textrm{AR} = 10a$ y $\textrm{AO} = 8a$. Recordando que $\textrm{BR} = 2\ \textrm{OR}$ entonces $\textrm{BR} = 2(6a) = 12a$.

Ahora tracemos $\overline{\textrm{MF}}$ perpendicular a $\overline{\textrm{AC}}$ y por el teorema de la base media $\textrm{OF} = \textrm{FC} = 4a$ y además $\textrm{OB} = 2\ \textrm{MF}$ entonces $18a = 2\ \textrm{MF}\ \to\ 9a = \textrm{MF}$

Ahora apliquemos la semejanza para los triángulos $\triangle \textrm{AFM}$ y $\triangle \textrm{AOR}$

                                     $\dfrac{6a}{10a} = \dfrac{9a}{10a+10}$

                                     $\dfrac{6}{10} = \dfrac{9a}{10(a+1)}$

                                     $6(a+1) = 9a$

De esta ecuación $a = 2$.

Debido a que $a=2$ entonces $\textrm{BO} = 18a = 18 \cdot 2 = 36$ y como $\textrm{BO}$ es la mitad de la longitud de la diagonal $\overline{\textrm{BD}}$ entonces $\textrm{BD} = 2\ \textrm{BO} = 2 \cdot 36 = 72$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La longitud de la diagonal}\ \overline{\textrm{BD}}\ \textrm{es 72}}$