Question

encuentre el mayor entero positivo n, que no es divisible por 10, tal que si los dos últimos dígitos de n^2 se borran, el número que así se determina es también un cuadrado perfecto

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Cuadrados Perfectos

$\textbf{Problema :}$

Encuentre el mayor entero positivo $n$ que no es divisible por 10, tal que si los dos últimos dígitos de $n^{2}$ se borran, el número que así se determina es también un cuadrado perfecto.

RESOLUCIÓN

Asumamos que el numeral que nos representa a $n^{2}$ es

                                         $n^{2} = \overline{abc \ldots wxyz}$

Según condición del problema $n$ no es múltiplo de 10 lo cual implica que $n^{2}$ no es múltiplo de 100, dese cuenta que esto a su vez implica que las dos últimas cifras de $n^{2}$ no serán dos ceros.

Para entender mejor esto último supongamos que $n$ es múltiplo de 10 por ejemplo $n = 20$ entonces $n^{2} = 20^{2} = 400$ Note que al ser $n$ un múltiplo 10 como consecuencia las dos últimas cifras de $n^{2}$ son dos ceros.

Al eliminar los dos últimos dígitos de $n^{2}$ es decir eliminamos $\overline{yz}$ del numeral $\overline{abc \ldots wxyz}$ quedando el numeral $\overline{abc \ldots wx}$ siendo este un cuadrado perfecto, es decir.

                                         $m^{2} = \overline{abc \ldots wx}$

Descomponemos convenientemente $n^{2}$ con lo cual.

                               $n^{2} = \overline{abc \ldots wxyz} = 100 \times \overline{abc \ldots wx} + \overline{yz}$

                               $n^{2} = 100 \times m^{2} + \overline{yz}$

Como $\overline{yz}$ es un numeral de dos cifras ambas cifras diferentes de cero entonces.

                                        $0 < \overline{yz} < 100$

Adicionando a ambas partes de la desigualdad $100 \times m^{2}$

                        $0 + 100 \times m^{2} < \overline{yz} + 100 \times m^{2} < 100 + 100 \times m^{2}$

                        $100 \times m^{2} < \overline{yz} + 100 \times m^{2} < 100 + 100 \times m^{2}$

Debido a que $n^{2} = 100 \times m^{2} + \overline{yz}$ entonces.

                                   $100 \times m^{2} < n^{2} < 100 + 100 \times m^{2}$

Sacando raíz cuadrada.

                                   $10m < n < \sqrt{100 + 100 \times m^{2}}$

Debido a que $n$ es un número entero, para que la desigualdad tenga sentido la diferencia entre $\sqrt{100 + 100 \times m^{2}}$ y $10m$ debe ser mayor a la unidad.

Entenderemos mejor esto con un ejemplo, siendo $p$ un número entero que cumple la desigualdad $4 < p < 7$ entonces $p$ puede ser $p=5$ o también $p=6$ es decir, existe solución, ahora supongamos que $v$ es un número entero que cumple la desigualdad $3 < v < \pi$ entonces no existe solución ya que no existe un entero mayor a 3 y menor a $\pi$ a la vez. Note que una condición es que $v$ sea mayor a un número entero.

Por ende para que $n$ exista debe cumplirse necesariamente que.

                                   $\sqrt{100 + 100 \times m^{2}} - 10m > 1$

                                   $\sqrt{100 + 100 \times m^{2}} > 10m +1$

Elevando al cuadrado.

                                   $100 + 100 \times m^{2} > (10m+1)^{2}$

                                   $100 \times m^{2} + 100 > 100 \times m^{2} + 20m + 1$

                                   $100 > 20m + 1$

                                   $m < 4.95$

Debido a que $m$ es un entero positivo los posibles valores $m$ son $m = \{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4 \}$ Como se nos pide al mayor valor de $n$ escogemos al mayor valor $m$ es decir $m=4$.

                                   $n^{2} = 100 \times 4^{2} + \overline{mp}$

Con lo cual.

                                   $1600< n^{2} < 1700$

                                   $40 < n < 41.23$

Quedando como única solución $n = 41$ el cual cumple con las condiciones del problema ya que $n^{2} = 41^{2} = 1681$ y borrando las dos últimas cifras queda 16, el cual es cuadrado perfecto.

RESPUESTA

$\boxed{n=41}$