dada la funcion y=x³+3x²-2. Determine
a.- los puntos maximos y minimos de la funcion.
b.- los puntos de inflexion
c.- las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de inflexion.
d.- realice un bosquejo de la grafica
Respuestas
Dada la función y=x³+3x²-2: a) Los puntos máximos y mínimos son se encuentran en x=0 y x=-2. b) El punto de inflexión se encuentra en x=-1 c) Las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de inflexion son y=-3x-1, y=(x/3)+(1/3), respectivamente d) la gráfica de la función se puede observar en la foto que se anexa.
Calculo de los puntos máximos y mínimos
En esta parte se usan la 1era y segunda derivada de la función
f(x) = x³+3x²-2
Primera derivada => f'(x) = 3x²+6x
Segunda derivada => f''(x) = 6x+6
Hacemos f'(x) = 0 => 3x²+6x = 0 esta ecuación tiene dos raices
x₁ = 0
x₂=-2
Evaluamos ahora la 2da derivada en esos dos puntos
f''(0) = 6(0)+6 => f''(0) = 6 > 0 => Hay una minimo en x = 0
f''(-2) = 6(-2) + 6 => f''(-2) = -6 < 0 => Hay un maximo x = -2
Cálculo del punto de inflexión
Aqui se usará la 2da derivada
f''(x) = 0 => 6x+6 = 0 => x = -1 => Hay un punto de inflexión aqui
Recta tangente en el punto de inflexión
Forma general => y-f(a) = f'(a)(x-a); siendo
a: Punto de inflexión que en nuestro caso es x = -1 ; entonces
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² -2 => f(-1) = 0
f'(-1) = 3(-1)² +6(-1) => f'(-1) = -3
hacemos las respectivas sustituciones
y-0 = -3(x+1)
y = -3x -1 => Recta tangente al punto de inflexión
Calculo de la recta normal
Formula general => y - f(a) = -(1/f'(a))(x-a); Hacemos las sustituciones
y -0 = -(1/-3)(x+1)
y = (1/3)x + (1/3) => Recta normal al punto de inflexión
Respuesta:
paso a paso el ejercisio