Question

ayudenme por favor
un gerente de almacén informa que existe una probabilidad de 0.09 de que un articulo especifico no esté en existencia si un embarque cubre los pedidos para 130 artículos distintos a) cual es la probabilidad de que 16 o más de ellas no se encuentren en existencia?

b) cuál es la probabilidad de que 14 y 20 artículos no se encuentren en existencia?

c) cual es la probabilidad de que 12 o menos de ellas no se encuentren en existencia?

Answer 1

Determinamos la probabilidad que artículos no se encuentren en existencia.

• Que 16 o más artículos no estén en existencia es de 9%.

• Que entre 14 y 20 artículos no estén en existencia es de 23%

• Que 12 o menos artículos no estén en existencia es de 54%

Datos:

Número total de artículos: n = 130.

Probabilidad que un artículo no esté en existencia: p = 0,09.

Probabilidad que un artículo esté en existencia: 1 - p = 0,91

Procedimiento:

A partir de los datos de una distribución binomial, podemos transformarlos para obtener una distribución normal. Para calcular la media, lo realizamos de la siguiente forma:

$\boxed{\mu=n*p} \quad \longrightarrow \quad \mu = 130*0,09 = 11,7$

La desviación estándar la calculamos de la siguiente forma:

$\boxed{\sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}} \quad \longrightarrow \quad \sigma=\sqrt{130*0,09*0,91} = 3,26$

Una vez conocemos estos valores, podemos calcular la probabilidad al estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal. Para eso calculamos los valores de Z:

$\boxed{Z = \frac{\big{X - \mu}}{\big{\sigma}} }$

A. La probabilidad que 16 artículos o más no se encuentren en existencia X ≥ 16.

$Z = \frac{\big{16-11,7}}{\big{3,26}} = 1,32$

Para determinar los valores de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula =DISTR. NORM. ESTAND. N(1,32;VERDADERO).

Así tenemos que el valor de probabilidad para P(Z = 1,32) = 0,9066, que representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución.

Necesitamos determinar los valores del lado derecho. Para ello, como la distribución total es 1, al realizar la resta obtenemos la probabilidad que buscamos P(Z ≥ 1,32) = 1 - 0,9066 = 0,0934.

Finalmente este valor se puede representar en porcentaje al multiplicar por cien. De esta forma la probabilidad de encontrar más de 16 artículos que no se encuentren en existencia es de 9,34%  ≈  9%.

B. La probabilidad que entre 14 y 20 artículos no estén en existencia 14 ≤ X ≤ 20:

$Z_1 = \frac{\big{14-11,7}}{\big{3,26}} = 0,71$

$Z_2 = \frac{\big{20-11,7}}{\big{3,26}} = 2,55$

Necesitamos conocer únicamente la probabilidad entre Z = 0,71 y Z = 2,55. Las probabilidades obtenidas son P(Z ≤ 0,71) = 0,7611 y P(Z ≤ 2,55) = 0,9946. Para acotar el intervalo, obtenemos los valores de probabilidad a la derecha P(Z ≥ 0,71) = 0,2389 y P(Z ≥ 2,55) = 0,0054.

Pero la parte de la distribución que no queremos incluir están a la derecha de Z = 2,55. Así tenemos que la probabilidad es:

P(0,71 ≥ x ≥ 2,55) = P(Z ≥ 0,71) - P(Z ≥ 2,55)

P(0,71 ≥ x ≥ 2,55) = 0,2389 - 0,0054 = 0,2335  ≈  24%.

C. La probabilidad que 12 artículos o menos no se encuentren en existencia X ≤ 12.

$Z = \frac{\big{12-11,7}}{\big{3,26}} = 0,09$

Esta probabilidad se obtiene de forma directa: P(Z ≤ 0,09) = 0,5359. De esta forma la probabilidad de encontrar que menos de 12 productos no se encuentren en existencia es de ≈  54%