Question

Por razones de comparación,
un profesor quiere cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que
la calificación máxima siga siendo 100, pero la media
(promedio) sea 80 en lugar de 56. (a) Determine una
ecuación lineal que prediga esto. [Sugerencia: quiere
que 56 se convierta en 80 y 100 permanezca como 100.
Considere los puntos (56, 80) y (100, 100), y de manera
más general, (x, y), donde x es la calificación anterior y
y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma
punto-pendiente. Exprese y en términos de x.] (b) Si en
la nueva escala 60 es la calificación más baja para acreditar, ¿cuál fue la calificación más baja para acreditar
en la escala original?

Answer 1

La  ecuación lineal que permite cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que  la calificación máxima siga siendo 100, pero la media  (promedio) sea 80 en lugar de 56 es

$y=\frac{5}{11}x+\frac{600}{11}$

Explicación paso a paso:

La función y = mx + b es la expresión de una línea recta con pendiente m y que intersecta al eje y en el valor y = b.

La pendiente,  m,   de la recta que pasa por los puntos  (x₁, y₁)  y  (x₂, y₂)  viene dada por:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

La ecuación punto-pendiente de la recta, de pendiente  m y que pasa por el punto  (x₁, y₁),  viene dada por:

$(y - y_{1})=m(x-x_{1})$

Con estas expresiones y las condiciones dadas, procedemos:

(a) Determine una  ecuación lineal que prediga el cambio de la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que  la calificación máxima siga siendo 100, pero la media  (promedio) sea 80 en lugar de 56.

Sugerencia: quiere  que 56 se convierta en 80 y 100 permanezca como 100.  Considere los puntos (56, 80) y (100, 100), y de manera  más general, (x, y), donde  x  es la calificación anterior y   y  la nueva.

Atendiendo la sugerencia y las ecuaciones previas vamos a hallar la ecuación lineal requerida:

Pendiente:    (x₁, y₁)  =  (56, 80)         (x₂, y₂)  =  (100, 100)

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{100-80}{100-56}=\frac{5}{11}$

La ecuación punto-pendiente de la recta:    m  =  5/11       (x₁, y₁)  =  (56, 80)

$(y - y_{1})=m(x-x_{1})$         ⇒        $(y - 80)=(\frac{5}{11})(x-56)$

⇒        $y=\frac{5}{11}x+\frac{600}{11}$

(b) Si en  la nueva escala 60 es la calificación más baja para acreditar, ¿cuál fue la calificación más baja para acreditar  en la escala original?

Para responder (b) vamos a sustituir en la expresión obtenida en (a) el valor en la nueva escala  (y  =  60)  y despejamos el valor correspondiente en la escala anterior  (x):

$60=\frac{5}{11}x+\frac{600}{11}$         ⇒         $660=5x+600$         ⇒         x  =  12

La calificación más baja para acreditar  en la escala original era de 12 puntos.