Question

Determina el valor de k en la ecuación kx^2+5x+2k=x^2 para que el producto de sus raíces sea 5/4

Answer 1

El valor de k en la ecuación de segundo grado es: -5/3

1. Desarrollamos el ejercicio, primero disponiendo los términos en una ecuación de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ Por lo que:

$kx^2+5x+2k=x^2\\\\kx^2-x^2+5x+2k=0\\\\(k-1)x^2+5x+2k = 0$

Donde:

$a = (k-1)\\b=5\\c=2k$

2. Luego nos dicen que el producto de sus raíces es 5/4. La raíces estan dadas por la siguiente formula

$x_{i} = \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

3. Reemplazando los calores de a, b y c encontrados en (1):

$\frac{-5+\sqrt{25-4(k-1)(2k)}}{2(k-1)}.\frac{-5-\sqrt{25-4(k-1)(2k)}}{2(k-1)}=\frac{5}{4}$

Resolvemos la diferencia de cuadrados del numerador:

$\frac{-5+\sqrt{25-8k(k-1)}}{2(k-1)}.\frac{-5-\sqrt{25-8k(k-1)}}{2(k-1)}=\frac{5}{4}\\\\\frac{(-5)^2-(\sqrt{25-8k^2+8k})^2}{4(k-1)^2}=\frac{5}{4}$

Se anula el 4 del denominador, nos queda:

$\frac{25-25+8k^2-8k}{(k-1)^2}=5\\\\8k(k-1)=5(k-1)^2\\\\8k = 5(k-1)\\\\8k = 5k - 5\\3k = -5\\\\k=-5/3$