Question

hallar la ecuación general de la tangente de la circunferencia
${x}^{2} + {y}^{2} + 2x - 2y - 39 = 0$
en el punto (4,5)​

Answer 1

$(x+1)^2+(y-1)^2 = 41\\\\\text{ecuaci\'on de la recta tangente: }\\\\(x-4)(4+1)+(y-5)(5-1)=0\\ \\\boxed{5x+4y=40}$

Recuerde lo siguiente:

Sea la ecuación de la circunferencia $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ y sea $(x_0,y_0)$ un punto sobre la circunferencia. La ecuación de la recta tangente en susodicho punto es:

$(x-x_0)(x_0-h)+(y-y_0)(y_0-k)=0$

Answer 2

Hola :D

Tema: Circunferencia

Tarea: hallar la ecuación general de la tangente de la circunferencia

${x}^{2} + {y}^{2} + 2x - 2y - 39 = 0$

en el punto (4,5)

Bueno, en primera agrupamos los términos:

${x}^{2} + 2x + {y}^{2} - 2x - 39 = 0$

Utilizamos Completando el Cuadrado,

Ejemplo:

${x}^{2} + 2x$

Al 2 lo divides entre 2, y ese resultado lo elevamos al cuadrado.

Ojo: quedan dos resultados, uno negativo que iría a hacer la operación con el - 39, y uno positivo el cual nos sirve para representar el Binomio al Cuadrado.

$({x}^{2} + 2x + 1) + ( {y}^{2} - 2y + 1) - 39 - 1 - 1 = 0 \\ (x + 1)^{2} + {(y - 1)}^{2} - 41 = 0 \\ (x + 1)^{2} + {(y - 1)}^{2} = 41$

Ahora, encontramos la recta tangente, para esto, descomponemos lo que habiamos obtenido:

$(x + 1)(x + 1) + (y - 1)(y - 1) = 41$

Sustituiremos la coordenada, no importa si lo pones como quieras, pero siempre debes respetar o más que nada, recordar que (4,5) donde 4 es x, y 5 es y:

$(x + 1)(4 + 1) + (y - 1)(5 - 1) = 41 \\ (x + 1)(5) + (y - 1)(4) = 41 \\ 5x + 5 + 4y - 4 = 41 \\ 5x + 4y + 5 - 4 = 4 1\\ 5x + 4y + 1 = 41 \\ \boxed{5x + 4y = 40}$

Saludos !

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