Question

Calcular la distancia perpendicular desde el punto P(14,15,-16) a la recta que pasa por el punto Q(-13,15,17) y es paralela al vector B=(14,-11,13)

Answer 1

La distancia perpendicular desde el punto P(14,15,-16) a la recta que pasa por el punto Q(-13,15,17) y es paralela al vector B=(14,-11,13) es aproximadamente 26.27 unidades de longitud.

Explicación:

Iniciemos por definir:

R(x₀, y₀, z₀), el punto de la recta dada en el cual se intersecta, en un ángulo de 90°, con una recta que pasa por el punto P.

A, el vector marcado sobre el segmento de recta que une los puntos R y Q y que tiene la misma dirección y sentido que el vector B, (vector de dirección de la recta)

C, el vector marcado sobre el segmento de recta que inicia en el punto P y finaliza en el punto R. (vector normal)

La distancia perpendicular desde el punto P hasta el punto R la obtenemos calculando el módulo del vector C. Para ello necesitamos conocer las coordenadas del punto R.

Esto último es posible usando el producto escalar de vectores y el conocimiento de que este producto es nulo cuando los vectores involucrados son perpendiculares entre si; es decir, forman un ángulo de 90° entre ellos.

Entonces, construyamos los vectores A y C:

A  =  (x₀ - (-13))i  +  (y₀ - 15)j  +  (z₀ - 17)k  =  (x₀ + 13)i  +  (y₀ - 15)j  +  (z₀ - 17)k

C  =  (x₀ - 14)i  +  (y₀ - 15)j  +  (z₀ - (-16))k  =  (x₀ - 14)i  +  (y₀ - 15)j  +  (z₀ + 16)k

Luego, calculamos los productos escalares  A·C  y  B·C,  y los igualamos; ya que los vectores A y B son perpendiculares al vector C y, por ende, ambos productos son nulos.

A·C  =  B·C        ⇒        A  =  B        ⇒        

(x₀ + 13)i  +  (y₀ - 15)j  +  (z₀ - 17)k  =  14i  -  11j  +  13k        ⇒        

x₀ + 13  =  14        ⇒        x₀  =  1

y₀ - 15  =  -11        ⇒        y₀  =  4

z₀ - 17  =  13        ⇒        z₀  =  4        

De aqui se obtiene el vector C, por sustitución de las coordenadas del punto R en la expresión definida antes y podemos calcular el modulo del vector C, que corresponde a la distancia que se solicitó:

Luego, calculamos los productos escalares  A·C  y  B·C,  y los igualamos; ya que los vectores A y B son perpendiculares al vector C y, por ende, ambos productos son nulos.

C  =  (1  - 14)i  +  (4 - 15)j  +  (4  +  16)k  =  -13i  -  11j  +  20k      

║C║  =  $\sqrt{(-13)^{2}+(-11)^{2}+(20)^{2}}=\sqrt{690}$  ≈  26.27