Question

Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los
cuales tienen uno 3 elementos más que el
otro, el número de sus conjuntos potencias
difieren en 3584. Calcular el cardinal de la
unión de ambos conjuntos.

Answer 1

El cardinal de la unión de ambos conjuntos es  n = 12

Como los conjuntos son comparables quiere decir que uno es un subconjunto de el otro, podemos decir que si A y B son comparables entonces B ⊂ A.

Por lo tanto, el cardinal de la unión de ambos conjuntos en realidad sería el cardinal del conjunto más grande debido a que son conjuntos comparables.

El número de conjuntos potencias se puede calcular de la forma:

#Conjuntos potencias de A = 2ⁿ

Donde n es la cantidad de elementos del conjunto de A.

Como uno tiene 3 elementos más que el otro:

Si decimos que A es el conjunto más grande y tiene n elementos, entonces B tendrá n-3 elementos.

Ahora, el número de sus conjuntos potencias difieren en 3584 esto quiere decir:

2ⁿ - 2ⁿ⁻³ = 3584

Procedemos a despejar n

sacamos factor común 2ⁿ

$2^n\left(1-2^{-3}\right) = 3584$

$\frac{7}{8}\cdot \:2^n = 3584$

$2^n = 4096$

Aplicamos logaritmo base 2

$n\:=\log _2\left(4096\right)$

$n=12$

El número de elementos de A es igual a 12, como B ⊂ A entonces el número de elementos o cardinal de la unión de ambos conjuntos es 12.

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