Un auto deportivo se desplaza a una velocidad entre las 0 y 3 horas, viene dada por la expresión v(t)= (3-t).e^t, donde es el tiempo en horas y v(t) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo [0,3]circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿Se detuvo alguna vez?
Respuestas
El momento en el que el auto deportivo circula a una velocidad máxima es t = 2 h. El valor de esta velocidad máxima es V(2) = e^2 Km/h. El auto deportivo se detuvo en el instante t = 3 h.
Función de la velocidad ⇒ v(t)= (3-t).e^t
Primera derivada ⇒ v'(t)= (2-t).e^t
Segunda derivada ⇒ v''(t)= (1-t).e^t
Igualamos a cero la primera derivada para saber donde hay puntos de cambio de pendiente
v'(t) = (2-t).e^t = 0 ⇒ 2-t = 0 ⇒ t = 2
sustituimos este valor en la segunda derivada para saber si este valor genera un máximo o un mínimo en la función
v''(2)= (1-t).e^2 ⇒ v''(2)= -e^2 < 0 por lo que la función tiene un valor máximo en t = 2.
Sustituimos t = 2 en la función para calcular el valor máximo de la velocidad
v(2)= (3-2).e^2 ⇒ v(2) = e^2
Igualamos a cero la función para averiguar si el auto se detiene en algún momento
v(t)= (3-t).e^t = 0 ⇒ (3-t) = 0 ⇒ t = 3
La gráfica de la función se puede ver en la fotografía que se anexa.
