Question

RAZON DE CAMBIO. Un faro se localiza en una pequeña isla a 3Km de distancia del punto P mas cercano que se encuentra en una playa recta. Y su luz da 4 revoluciones por minuto ¿Que tan rapido se mueve el haz de luz a lo largo de la playa cuando está a 1 km de P.? AYUDARIA MUCHO UN BOCETO​

Answer 1

Respuesta:

v=1.40 m/s

Explicación paso a paso:

Lo primero que haremos será hallar la dθ/dt.

Como sabemos que gira a 4 rev/min, deberemos transformar a Rad/s:

$\frac{4Rev}{min} *\frac{2\pi Rad}{1Rev}*\frac{1min}{60s} =\frac{2\pi}{15}\frac{Rad}{s}$

Así que la velocidad angular es:

$\omega=\frac{d \theta}{dt} = \frac{2\pi}{15}\frac{Rad}{s}$

Sabemos que:

x/3=tanθ

x=3tanθ

Derivando esta ecuación con respecto el tiempo para hallar la velocidad:

$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d(3tan\theta)}{dt} =3sec^2(\theta)*\frac{d\theta}{dt} \\\\v=\frac{dx}{dt}=3*sec^2(\theta)*\frac{2\pi }{15}\\\\v=\frac{dx}{dt}=\frac{2\pi}{5}sec^2(\theta)$

En el instante en que x=1km:

tanθ=x/3

tanθ=1/3

Usando la identidad trigonométrica:

sec²θ=1+tan²θ

sec²θ=1+(1/3)²

sec²θ=10/9

Sustituyendo en la ecuación:

$v=\frac{dx}{dt}=\frac{2\pi}{5}sec^2(\theta)\\\\v=\frac{dx}{dt}=\frac{2\pi}{5}*\frac{10}{9} \\\\v=\frac{dx}{dt}=1.40\ m/s$

Así que la velocidad es de v=1.40 m/s

Answer 2

El haz de luz se mueve a una rapidez dy/dt cuyo valor es de 1.26 rev/min.

   

  Para calcular la rapidez con que se mueve el haz de luz se procede a aplicar derivadas a la ecuación deducida del diagrama propuesto en el cual se observa la situación planteada de la siguiente manera :

Razón de cambio :

  dy/dt=?

  dx/dt = 4 rev/min

   

   y²  = x²+ 3²

  2ydy/dt = 2xdxdt

      se despeja dy/dt :

      dy/dt = (x/y)*dx/dt

   Para :      x = 1 Km      ⇒    y = √ ( 3)²+ (1)²  = √10 km

Entonces :    dy/dt = ( 1Km/√10 Km)* 4 rev/min

                     dy/dt = 1.26 rev/min    

 

  En el adjunto se indica la situación .