Question

Una persona caminó primero 4 km en dirección sur y luego 2 km en dirección
sudoeste. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?​

Answer 1

Respuesta:

6 km

Explicación p

Answer 2

Justo estaba realizando este mismo ejercicio del libro que nos dan de la universidad de ingeniería para estudiar trigonometría. Me trabé un poco al principio pero al final pude hacerlo, espero que aunque sea tarde a alguien más le sirva. Empecemos:

Nadie acá negaría esto, ¿no?:

$Sen(\alpha) = \frac{cateto\quad opuesto}{hipotenusa} = \frac{a}{h}\\Cos(\alpha) = \frac{cateto\quad adyacente}{hipotenusa} = \frac{b}{h}$

$Sen(\beta) = \frac{cateto\quad opuesto}{hipotenusa} = \frac{b}{h}\\Cos(\beta) = \frac{cateto\quad adyacente}{hipotenusa} = \frac{a}{h}$

Ahora, fijate que en la figura se puede observar que estamos en un plano cartesiano pero con puntos cardinales. Tenemos que la persona parte del origen (nombrémoslo punto A) y va 4km hacia el sur (llegando a un punto B) y, posteriormente, va 2km hacia el sudoeste (llegando a un punto C), bien, vemos que se formará un triángulo oblicuo con el recorrido de la persona.

Hasta acá todo correcto. Vamos con una pregunta, ¿qué es el sudoeste? Si te das cuenta, en base al eje: el norte representa un ángulo de 90º, el oeste uno de 180º, el sur uno de 270º y el oeste uno de 360º o 0º, imagina ahora, teniendo en cuenta eso, ¿cuánto será el ángulo del sudoeste? Claramente será un ángulo de 135º, con ese importante dato ya podemos resolver el segmento del vértice C al vértice A. Definamos como "x" a la distancia de C a A, el cual es la incógnita a resolver, como α al ángulo del punto C y como β al ángulo del punto A (graficado en la segunda imagen adjunta). Finalmente, por lo dicho anteriormente, sabemos que el ángulo x (ubicado en el punto B) es 135º y es opuesto a la distancia que buscamos descubrir, recién definida como "x".

γ = 135º

$\left \{ {{\frac{4}{Sen(\alpha)}=\frac{x}{Sen(135^{\circ})}} \atop {\frac{2}{Sen(\beta)}=\frac{x}{Sen(135^{\circ})}} \right.$

Bueno, si tenemos un triángulo escaleno podemos partir al mismo en dos triángulos-rectángulos tal y como se ve en la primera imagen adjunta, de allí podemos entender al cateto adyacente del ángulo β del triángulo-rectángulo de la derecha como el resultado de despejar c en la razón trigonométrica del coseno del respectivo ángulo:

$Cos(\beta)=\frac{c}{a}\\\frac{c}{a} \cdot a=Cos(\beta) \cdot a\\c = a \cdot Cos(\beta)$

Lo mismo pasará con el triángulo-rectángulo de la izquierda:

$Cos(\alpha)=\frac{c}{b}\\\frac{c}{b} \cdot b=Cos(\alpha) \cdot b\\c = b \cdot Cos(\alpha)$

Si ahora usamos el Teorema de Pitágoras, podemos hacer lo siguiente:

$\left \{ {{a^{2}=h^{2} +(a \cdot Cos(\beta))^{2}} \atop {b^{2}=h^{2} +(b \cdot Cos(\alpha))^{2}}} \right.$

Pero también podríamos pensar la segunda ecuación como:

$b^{2} =h^{2} +(c-a \cdot Cos(\beta))^{2}$

Entonces:

$a^{2} =h^{2} + (a \cdot Cos(\beta))^{2}\\h^{2} + a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2} - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2} = a^{2} - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2}\\h^{2} = a^{2} - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2}$

$b^{2} =h^{2} + (c - a \cdot Cos(\beta))^{2}\\h^{2} + (c - a \cdot Cos(\beta))^{2} - (c - a \cdot Cos(\beta))^{2} = b^{2} - (c - a \cdot Cos(\beta))^{2}\\h^{2} = b^{2} - [c^{2} - 2 \cdot c \cdot (a \cdot Cos(\beta)) + (a \cdot Cos(\beta))^{2}]\\h^{2} = b^{2} - (c^{2} - 2Cos(\beta)ca + a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2})\\h^{2} = b^{2} - c^{2} + 2Cos(\beta)ca - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2}$

Y así, igualando ambas ecuaciones para h² conseguimos:

$a^{2} - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2} = b^{2} - c^{2} + 2Cos(\beta)ca - a^{2} \cdot Cos(\beta)^{2}$

Finalmente, al despejar analogamente cada uno de los cuadrados de los lados tenemos:

$a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc \cdot Cos(\alpha)\\b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca \cdot Cos(\beta)\\c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba \cdot Cos(\gamma)$

Hemos llegado a la base teórica del Teorema del Coseno, finalmente, una de estas tres fórmulas nos va a servir para resolver el ejercicio.

Como lo que queremos descubrir es el lado x del triángulo oblicuo, habíamos dicho que este mismo mediría la suma de los dos catetos adyacentes de alfa y beta al partir el triángulo oblicuo en dos tríangulos-rectángulos, eso sería:

$c = a \cdot Cos(\beta) + b \cdot Cos(\alpha) = a \cdot Cos(\beta) + (c - a \cdot Cos(\beta)\\x = 4 \cdot Cos(\beta) + 2 \cdot Cos(\alpha) = 4 \cdot Cos(\beta) + (x - 4 \cdot Cos(\beta)$

Eso nos lleva a plantear la siguiente ecuación acorde al Teorema del Coseno (y ya prometo que termina):

$x^{2} =4^{2}+2^{2}-2(4)(2) \cdot Cos(135^{\circ})\\x^{2} =16+4-16 \cdot Cos(90^{\circ}+45^{\circ})\\x^{2} =20-16 \cdot [Cos(90^{\circ}) \cdot Cos(45^{\circ})-Sen(90^{\circ}) \cdot Sen(45^{\circ})]\\x^{2} =20-16 \cdot [0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}]\\x^{2} =20-16 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})\\x^{2} =20+8\sqrt{2}\\\sqrt{x^{2}}=\sqrt{20+8\sqrt{2}}\\|x|=\sqrt{20+8\sqrt{2}}\\x=\pm\sqrt{20+8\sqrt{2}}\\\\x_{1} =\sqrt{20+8\sqrt{2}}\\x_{2} =-\sqrt{20+8\sqrt{2}}$

Pero como se trata de una longitud (en este caso, una distancia) se tomará únicamente el valor positivo.

RESPUESTA: $(\sqrt{20+8\sqrt{2}})km$