Question

Integración por sustitución
usando esencialmente la técnica de integración por sustitución encontrar las siguientes integrales

Answer 1

2.55)  $\int {\frac{x^{3}}{a^{2}-x^{2} }}\,dx$

En primer lugar resolvemos la división de polinomios:

$\frac{x^{3}}{a^{2}-x^{2} }=-x+\frac{a^{2} x}{a^{2}-x^{2}}$

Se reescribe la integral, separándola en dos: la primera es inmediata y la segunda se resuelve por un cambio de variable simple,

$\int\frac{x^{3}}{a^{2}-x^{2}}\,dx=\int{(-x+\frac{a^{2} x}{a^{2}-x^{2}})}\,dx$    ⇒

$\int\frac{x^{3}}{a^{2}-x^{2}}\,dx=-\int{x}\,dx+\int{(\frac{a^{2} x}{a^{2}-x^{2}})}\,dx$

En la segunda integral llamamos   u  =  $a^{2}-x^{2}$

$\int\frac{x^{3}}{a^{2}-x^{2}}\,dx=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}Ln({a^{2}-x^{2}})+C$

2.91)  $\int {Sen^{2}(x)}\, dx$

Se aplica una identidad trigonométrica para reducir la potencia de la función Seno y luego se separa en dos integrales: una inmediata y la otra se resuelve por un cambio de variable simple,

$\int {Sen^{2}(x)}\, dx=\int{\frac{1-Cos(2x)}{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\, dx-\frac{1}{2}\int Cos(2x)}\,dx$

En la segunda integral llamamos   u  =  2x

$\int {Sen^{2}(x)}\, dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4} Sen(2x)+C$

2.127)  $\int {\frac{dx}{x Ln^{2}(x)}}$

Aplicamos el cambio de variable simple    U  =  Ln(x)

$\int {\frac{dx}{x Ln^{2}(x)}}=\int {\frac{du}{u^{2}}}=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{Ln(x)}+C$