Question

realiza los productos y cocientes ayudaaaaaa xfavoooor
$\frac{ \sqrt[6]{128} }{ \sqrt[6]{16 } } = \sqrt{2} \times \sqrt{6 = }$
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Answer 1

Respuesta:

a) √2

b) 2√3

Explicación paso a paso:

Primero factorizamos el 128 y el 16 en numeros primos, quedando:

$128 = {2}^{7} \\ 16 = {2}^{4}$

Ahora, usamos una propiedad de las raices que nos permite convertirlas a exponente:

$\sqrt[m]{ {a}^{n} } = {a}^{ \frac{n}{m} }$

Entonces tenemos la expresion original de esta manera:

$\frac{ \sqrt[6]{128} }{ \sqrt[6]{16} } = \frac{ { {2}^{ \frac{7}{6} } } }{ {2}^{ \frac{4}{6} } }$

Una propiedad de las division de números con bases iguales con un exponente nos dice:

$\frac{ {a}^{m} }{ {a}^{n} } = {a}^{m -n }$

Por lo que tenemos que

$\frac{ { {2}^{ \frac{7}{6} } } }{ {2}^{ \frac{4}{6} } } = {2}^{ \frac{7}{6} - \frac{4}{6} } = {2}^{ \frac{7 - 4}{6} } = {2}^{ \frac{3}{6} } = {2}^{ \frac{1}{2} }$

Si usamos la propiedad que usamos al principio de forma inversa tenemos que:

${2}^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{2}$

Ahora para el producto de radicales, tenemos que:

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Por lo que:

$\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{(2)(6)} = \sqrt{12}$

Escribiendo el 12 con forma de producto de numeros primos, tenemos que 12= 2×2×3=2²×3

Entonces √12= √(2²×3)=√(2²)×√3=2√3