Question

una esfera de radio 5cm y un cono de radio 5cm y altura 10cm se encuentran colocados sobre una superficie plana se desea trazar un plano paralelo a la superficie de manera que de sus intersecciones de los dos sólidos resulten en círculos iguales ¿ A que distancia de la superficie debe quedar el plano?

ayuda urgente porfa

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema primero tienes que notar que los ambos sólidos tienes la misma altura ya que la esfera tiene 5 cm de radio osea 10 cm de diámetro o también altura y el cono te dan de dato que tiene 10 cm de altura, la otra cosa que tienes que notar es que si coloco las dos figuras sobre una superficie y después subo esa superficie traspasando los sólidos noto que la esfera empieza con base de circulo pequeño pero a medida que subo se va agrandando en cambien el cono empieza con una base de grande y a medida que sube la superficie se vuelve pequeña entonces una ves que la superficie llega hasta la mitad de la altura vemos que ya hubo una ocasión donde las dos áreas que traspasaban a los sólidos formaron una circunferencia de igual tamaño entonces con esto ya sabemos que el momento ocurre antes de que llegue a la mitad de la altura.

El otro punto que debes ver es que no es necesario saber el área de los círculos que se forman cuando los dos círculos son iguales basta con saber el radio.

Otra cosa que también debes de ver es que el cono esta compuesto por un montón de triángulos que giran en un eje, entonces para saber el área de la base que se forma en cierto punto debemos saber el radio de la base formada (recuerda que el radio de la base es el segmento que se forma al trazar una recta desde la base del eje hasta un punto cualquiera de la circunferencia que forma la base del cono y si lo ponemos en una sola imagen el eje y el radio juntamente con el lado del cono forman un triangulo rectángulo )y para saber el radio debemos comparar los triángulos formados, el primero el triangulo que se forma en el cono original y el otro que se forma en el cono cortado en cierto punto de su eje.

Ahora para hallar el radio que se forma en cierto puno del eje de una esfera debemos utilizar una formula que se toca cuando tomamos el tema de Casquete esféricos:

$r=\frac{a^{2}+h^{2}  }{2h}$

donde:

h = altura en la que se corta la esfera

a = es el radio formado por el corte

r = es el radio original del la esfera

Entonces una ves entendido todo esto empecemos a resolver:

Para hallar el radio formado en el punto en donde las dos circunferencia formadas por la superficie que traspasa a los dos sólidos sea iguales debemos analizar primero en el cono:

x = altura  

a=radio formado

h= altura de la superficie con respecto a la base

r=radio de la base original

Comparamos los triángulos que se forman  para hallar (a) :

Primer triangulo(A):

AlturaA = 10 cm

BaseA = 5 cm

Segundo triangulo(B):

AlturaB = 10 - h

BaseB = a

Sabemos que estos dos triángulos son semejantes asea que si dividimos la alturaA entre baseA el resultado es el mismo que si dividimos alturaB entre baseB

Aplicamos:

10/5 = (10-h)/a

2a = (10-h)

a = (10-h)/2

Ahora el valor de (a) es el mismo que el valar de el radio que se forma en la base de la esfera cuando es atravesada por la superficie ya que (a) es el radio  que se forma en la base del cono cuando la superficie traspasa al cono.

Analizamos en la esfera para ello utilizamos la formula para hallar el radio que se forma en la base de la esfera cuando es atravesada por la superficie:

$r=\frac{a^{2}+h^{2}  }{2h}$

donde:

h = altura en la que se corta la esfera

a = es el radio formado por el corte

r = es el radio original del la esfera

Remplazamos:

$5 =\frac{a^{2} +h^{2} }{2h} \\\\10h=a^{2} + h^{2}  \\\\10h - h^{2} =a^{2}\\ \\\sqrt{10h-h^{2} } =a$

Ahora igualamos las ecuaciones que dan el valor de (a):

$\sqrt{10h-h^{2} } =\frac{10-h}{2} \\\\10h-h^{2}=(\frac{10-h}{2} )^{2} \\\\40h-4h^{2} =100-20h+h^{2} \\\\0=5h^{2} -60h+100\\\\0=(5h-50)(h-2)\\\\5h-50=0\\\\h=10\\\\h-2=0\\\\h=2$

Entonces como puedes ver hay dos resultados pero no puede ser 10 ya que 10 es la altura y la circunferencia formada seria 0, el otro resultado es 2 ese si es

Entonces la altura del plano es 2 cm

Espero te sirva si tienes dudas solo pregunta