Question

Un deportista de natación necesita mejorar su estilo de clavado, por lo que ha grabado con una cámara ubicada bajo el agua cada uno de sus movimientos hasta obtener el mejor clvado.Los resultados esperados del clavado fueron descritos en una ecuación de la profundidad h en función de la x, a la que vuelve a emerger, donde todas las distancias están en metros, así h(×)= 6x2 6x Si se toma el nivel de agua de la piscina con el eje de las abcisas, determine la profundidad máxima, en metros, que alcanzó su clavado.

Answer 1

La función   h₍ₓ₎  =  6x²  -  6x      tiene un mínimo en el punto  (1/2, 3/2); es decir, la profundidad máxima que alcanzó el clavado fue 1.5 metros.

Explicación:

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de y.

y'  =  12x  -  6        

y' = 0         ⇒         12x  -  6  =  0         ⇒        x  =  1/2

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

y''  =  12

Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$y''_{(1/2)}>0$         ⇒         x = ½        es un mínimo de la función y.

Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de    x    y obtenemos el valor mínimo de y; es decir, el valor de la mayor profundidad alcanzada por el clavadista.

$y_{(1/2)}=-3/2$

La profundidad máxima alcanzada es de 1.5 m.