Question

Simplifica (cotθ − tanθ)(csc4θ − cot4θ)

Answer 1

Respuesta:

cot(θ)csc4θ) − cot(θ)cot(4θ) − tan(θ)csc(4θ) + tan(θ)cot(4θ)

Answer 2

Al aplicar identidades fundamentales, recíprocas y de ángulo doble se obtiene la siguiente igualdad por simplificación de la expresión dada:

$\bold{(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~2}$

Explicación paso a paso:

Para simplificar la expresión nos vamos a apoyar en el álgebra básica y las identidades trigonométricas fundamentales, identidades recíprocas e identidades de ángulo doble.

Primero expresamos en términos de senos y cosenos y luego operamos

$\bold{(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)}~=~(\dfrac{cos\alpha}{sen\alpha}~-~\dfrac{sen\alpha}{cos\alpha})(\dfrac{1}{sen4\alpha}~-~\dfrac{cos4\alpha}{sen4\alpha})\qquad\Rightarrow$

$(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~(\dfrac{cos^2\alpha~-~sen^2\alpha}{sen\alpha~cos\alpha})(\dfrac{1~-~cos4\alpha}{sen4\alpha})\qquad\Rightarrow$

$(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~(\dfrac{2~cos2\alpha}{sen2\alpha})[\dfrac{1~-~(cos^22\alpha~-~sen^22\alpha}{2~sen2\alpha~cos2\alpha}]\qquad\Rightarrow$

$(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~\dfrac{1~-~cos^22\alpha~+~sen^22\alpha}{sen^22\alpha}\qquad\Rightarrow$

$(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~\dfrac{sens^22\alpha~+~sen^22\alpha}{sen^22\alpha}\qquad\Rightarrow$

$\bold{(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~2}$

Al aplicar identidades fundamentales, recíprocas y de ángulo doble se obtiene la siguiente igualdad por simplificación de la expresión dada:

$\bold{(cot\alpha~-~tan\alpha)(csc4\alpha~-~cot4\alpha)~=~2}$

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