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Unión de intervalos
Dados dos intervalos reales cualesquiera, su unión es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al primer intervalo, y todos los elementos que pertenecen al segundo.
Unión, intersección y complementario de intervalos
Unión de intervalos
Dados dos intervalos reales cualesquiera, su unión es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al primer intervalo, y todos los elementos que pertenecen al segundo.
La unión de los intervalos y se denota por y se calcula:
En función del orden en que se encuentren los números y el resultado será uno u otro. Al ser y dos intervalos, necesariamente y , pero puede cambiar la posición relativa de los extremos de un intervalo respeto a los extremos del otro. De esta forma, podemos encontrarnos la casuística siguiente:
Si entonces la unión da como resultado el conjunto formado por ambos intervalos:
El resultado será el mismo si
Si , tenemos que el intervalo está incluido en , entonces,
Análogamente, si , obtenemos que . Es decir, si un intervalo está incluido en otro, la unión de ambos es igual al intervalo mayor.
si , entonces tenemos que
Pero al ser y , tenemos que ambos intervalos se sobreponen de tal forma que nos queda un único intervalo:
De igual forma, si obtenemos que:
Observemos ahora que la unión de intervalos no tiene por qué ser siempre un solo intervalo. Además para el caso de intervalos no abiertos, ya sean cerrados o mixtos, el resultado es análogo, solamente hay que tener en cuenta que las desigualdades estrictas seran desigualdades no estrictas.
Ejemplo
Veamos por ejemplo la unión entre los intervalos y :
Por lo tanto,
En este caso la unión de dos intervalos nos ha dado un intervalo.
Ejemplo
Otro ejemplo, veamos la unión de los intervalos y :
Y esta expresión no se puede simplificar más, con lo que la unión de los intervalos y nos queda como
Intersección de intervalos
Dados dos intervalos reales cualesquiera, su intersección es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos intervalos.
Complementario
El paso a complementario es una operación uno-ária, es decir, que afecta a un único intervalo.
Dado un intervalo cualquiera su complementario es el conjunto de números que no pertenecen al intervalo.
Explicación paso a paso: