Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 metros si el espesor disminuye a razón de 10 centímetros por hora en el instante en que r = 50 m2. Considera que el volumen: V= πr2h, (pi por radio al cuadrado por altura)
Respuestas
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m³ de petróleo. La rapidez con la que aumenta el radio es de 196,35 m/h
Datos:
El volumen del cilindro circular formado en el mar es:
V = h *π* r²
V= 300m³
r = 50 m
espesor = 10cm/h(1m/100cm) = 0,1 m/h
Si el espesor disminuye a razón 10cm/h ¿con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 metros si el espesor disminuye a razón de 10 centímetros por hora ?
Altura:
h = V / (π * r²)
Función objetivo:
h = V / (π* r²)
Derivamos:
dh/dt = ( -2*V / (π * r³) ) dr/dt
Despejamos la rapidez dr/dt:
dr/dt = - dh/dt * πi * r³ / ( 2*V )
Reemplazamos los valores para un radio de 50m:
dr/dt = - (0,1m/h) * π * (50m)³ / (2*100m³)
dr/dt = 196,35 m/h