Una estudiante debe contestar 10 de 13 reactivos. Encuentre el número de sus opciones en que debe responder:
a) los dos primeros reactivos; c) exactamente 3 de los 5 primeros reactivos;
b) el primero o el segundo reactivo, pero no ambos; d ) por lo menos 3 de los 5 primeros reactivos.
Respuestas
El total de opciones sera: si se deben contestar los dos primeros reactivos 165, si se deben contestar el primero o el segundo pero no ambos es 110, si se deben contestar exactamente 3 de los primeros 5 reactivos es 80 y si se deben contestar al menos de los primeros 5 es 276
Combinación: cuenta la cantidad de maneras de tomar de un conjunto de n elementos k elementos y su ecuación es:
C(n,k) = n!/((n-k)!k!)
a) Los dos primeros reactivos,
Si debe responder los dos primeros reactivos entonces queda combinar los otros 11 reactivos en los 8 que faltan por contestar:
C(11,8) = 11!/((11-8)!*8!
= 11*10*9*8!/3!*8! = 11*10*9/ 6 = 165
b) el primero o el segundo reactivo, pero no ambos
Entonces tomo uno de ellos se contesta y ya el otro no lo puedo contestar por lo que me quedan 11 reactivos para contestar 9 preguntas:
C(11,8) = 11!/((11-9)!*9!
= 11*10*9!/2!*9! = 11*10/ 2 = 55
Luego multiplico esta cantidad por 2 pues suponiendo ahora que tome el reactivo que no tome inicialmente
55*2 = 110
c) exactamente 3 de los 5 primeros reactivos;
De los 5 primeros reactivos hago combinaciones de 5 en 3 y luego multiplico por las combinación de los 8 reactivos restantes en las 7 preguntas que quedan por contestar:
C(5,3) = 5!/((5-3)!*3! =
= 5*4*3!/2!*3! = 5*4/ 2 = 10
C(8,7) = 8!/((8-7)!*7!) = 8*7!/7! = 8
El total de opciones sera: 10*8 = 80
d) por lo menos 3 de los 5 primeros reactivos.
Son las opciones de que me queden 3, de que me queden 4 y de que me queden 5, de los 5 primeros reactivos, de que me queden 3 ya la saque: 80.
De que queden exactamente 4 sera: combinaciones de 5 en 4 por combinaciones de 8 en 6
C(5,4) = 5!/((5-4)!*4! =
= 5*4!/1!*4! = 5
C(8,6) = 8!/((8-6)!*6!) = 8*7*6!/(2!*6!) = 28
El total sera: 28*5 = 140
De contestar los 5 primeros reactivos entonces tomo los otro 8 reactivos y realizo combinaciones de 8 en 5:
C(8,5) = 8!/((8-5)!*5!) = 8*7*6*5!/(3!*5!) = 56
El total de opciones si debe responder por lo menos 3 de los primeros 5 reactivos es: 80 + 140 + 56 = 276