Question

A) El termino situado en el quinto lugar del desarrollo del binomio
B) el termino ubicado en la octava posición en el desarrollo del binomio

Answer 1

Sin realizar el desarrollo, el término que está situado en el quinto lugar del desarrollo del binomio (x + 4y)¹⁶ es 465920x¹²y⁴, y el término ubicado en la octava posición en el desarrollo del binomio (a - 3b)¹⁴ es -7505784a⁷b⁷, como se demuestra, a continuación:

Para esto resolverlo sin hacer el desarrollo, aplicamos la siguiente fórmula:

Fórmula general del término enésimo de un binomio:

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-x+2)}{(x - 1)!}$ × aⁿ⁻ˣ⁺¹bˣ⁻¹

donde:

a es el primer término de la suma

b es el segundo término de la suma

n es el exponente

x es el lugar del término que buscamos

a) El término ubicado en el quinto lugar en el desarrollo del binomio (x + 4y)¹⁶:

a = x

b = 4y

n = 16

x = 5

Sustituimos en la fórmula:

16(15)(14)(13)/4! × x¹²(4y)⁴

43680/24 × x¹²256y⁴

1820x¹²256y⁴

465920x¹²y⁴     Es término ubicado en la quinta posición del binomio dado

b) El término ubicado en el octavo lugar en el desarrollo del binomio (a - 3b)¹⁴

a = a

b = -3b

n = 14

x = 8

Sustituyendo valores en la fórmula:

14(13)(12)(11)(10)(9)(8)/7! × aⁿ⁻ˣ⁺¹(-3b)ˣ⁻¹

17297280/5040 × a⁷(-2187)b⁷

3432a⁷(-2187)b⁷

-7505784a⁷b⁷   Es el término ubicado en la octava posición del binomio dado