Question

La suma de 1009 enteros consecutivos es $2018^{2019)$. ¿Cuál es la suma del
mayor y del menor de estos números?​

Answer 1

PREGUNTA

La suma de 1009 enteros consecutivos es 2018^{2019}. ¿Cuál es la suma del

mayor y del menor de estos números?​

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SOLUCIÓN

۞ HØlα!! ✌

Sea el primer número "x", entonces los números serán

                     x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, ... , x + 1007, x + 1008

Sumamos

                             $x+(x+1)+(x+2)+...+(x+1007)+(x+1008) = 2018^{2019}\\\\Agrupamos\\\\\underbrace{(x+x+...+x+x)}_{\mathmr{1009 \: n\'umeros}} + (1 + 2 + 3 +...+1007+1008) = 2018^{2019}\\\\\\1009x + \dfrac{1008(1009)}{2} = 2018^{2019} \\\\\\1009x = 2018^{2019} -\dfrac{1008(1009)}{2} \\\\\\\boxed{\boldsymbol{x = \dfrac{2018^{2019} -\dfrac{1008(1009)}{2}}{1009}}}$

El resultado es demasiado inmenso así que lo dejaremos así, el número mayor es x + 1008, por lo que al resultado le sumaremos 1008

Answer 2

La suma del menor de estos número con el mayor de los mismos es 4*2018²⁰¹⁸

La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es:

S = n*(n+1)/2

Ahora sea "a" el menor de los números consecutivos. entonces el mayor sera a + 1008 de manera que tengamos 1009 números.

La suma de los números de 1 hasta a + 1008 es:

S1 = (a + 1008)(a+1009)/2 = (a²+2017a + 1.017.072)/2 = 0.5a² + 1008.5a + 508536

Y la suma de los números enteros desde 1 hasta a es:

a(a+1)/2 = (a² +a)/2 = 0.5a²+ 0.5a, luego la suma de números enteros desde 1 hasta a -1 es:

S2 = 0.5a²+ 0.5a - a = 0.5a²- 0.5a

Luego la suma de los números desde a hasta a+ 1008 sera la resta de los números desde 1 hasta a + 1008 menos los números desde 1 hasta a-1, esto sera:

S3 = 0.5a² + 1008.5a + 508536 - (0.5a²- 0.5a)

= 1009a +  508536

Por lo tanto la sumo de los 1009 enteros consecutivos es de 1009a +  508536, luego esto es igual a 2018²⁰¹⁹

Por lo tanto:

1009a +  508536 = 2018²⁰¹⁹

1009a +  252*2018 = 2018²⁰¹⁹

1009a +  252*2018 = 2018²⁰¹⁹

1009a = 2018²⁰¹⁹- 252*2018

1009a = 2018*(2018²⁰¹⁸- 252)

a = 2*(2018²⁰¹⁸- 252)

Por lo tanto:

2a = 4*(2018²⁰¹⁸- 252)

Ahora como son enteros consecutivos entonces el menor de ellos es el primero que es "a" y el mayor de ellos es el ultimo que es a + 1008, por lo tanto la suma del menor de ellos con el mayor es:

a + a + 1008 = 2a + 1008.

De la ecuación 1 sumamos 1008 a ambos lados.

2a + 1008 =  4*(2018²⁰¹⁸- 252) + 1008

2a + 1008 = 4*2018²⁰¹⁸ - 1008 + 1008

2a + 1008 = 4*2018²⁰¹⁸