La suma de 1009 enteros consecutivos es $2018^{2019)$. ¿Cuál es la suma del
mayor y del menor de estos números?
Respuestas
PREGUNTA
La suma de 1009 enteros consecutivos es 2018^{2019}. ¿Cuál es la suma del
mayor y del menor de estos números?
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SOLUCIÓN
۞ HØlα!! ✌
Sea el primer número "x", entonces los números serán
x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, ... , x + 1007, x + 1008
Sumamos
El resultado es demasiado inmenso así que lo dejaremos así, el número mayor es x + 1008, por lo que al resultado le sumaremos 1008
La suma del menor de estos número con el mayor de los mismos es 4*2018²⁰¹⁸
La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es:
S = n*(n+1)/2
Ahora sea "a" el menor de los números consecutivos. entonces el mayor sera a + 1008 de manera que tengamos 1009 números.
La suma de los números de 1 hasta a + 1008 es:
S1 = (a + 1008)(a+1009)/2 = (a²+2017a + 1.017.072)/2 = 0.5a² + 1008.5a + 508536
Y la suma de los números enteros desde 1 hasta a es:
a(a+1)/2 = (a² +a)/2 = 0.5a²+ 0.5a, luego la suma de números enteros desde 1 hasta a -1 es:
S2 = 0.5a²+ 0.5a - a = 0.5a²- 0.5a
Luego la suma de los números desde a hasta a+ 1008 sera la resta de los números desde 1 hasta a + 1008 menos los números desde 1 hasta a-1, esto sera:
S3 = 0.5a² + 1008.5a + 508536 - (0.5a²- 0.5a)
= 1009a + 508536
Por lo tanto la sumo de los 1009 enteros consecutivos es de 1009a + 508536, luego esto es igual a 2018²⁰¹⁹
Por lo tanto:
1009a + 508536 = 2018²⁰¹⁹
1009a + 252*2018 = 2018²⁰¹⁹
1009a + 252*2018 = 2018²⁰¹⁹
1009a = 2018²⁰¹⁹- 252*2018
1009a = 2018*(2018²⁰¹⁸- 252)
a = 2*(2018²⁰¹⁸- 252)
Por lo tanto:
2a = 4*(2018²⁰¹⁸- 252)
Ahora como son enteros consecutivos entonces el menor de ellos es el primero que es "a" y el mayor de ellos es el ultimo que es a + 1008, por lo tanto la suma del menor de ellos con el mayor es:
a + a + 1008 = 2a + 1008.
De la ecuación 1 sumamos 1008 a ambos lados.
2a + 1008 = 4*(2018²⁰¹⁸- 252) + 1008
2a + 1008 = 4*2018²⁰¹⁸ - 1008 + 1008
2a + 1008 = 4*2018²⁰¹⁸