a) Su vértice es el origen, la distancia focal es 3 y se abre hacia la izquierda.
b) Su foco es el punto F (4,6) y la ecuación de la directriz es x + 6 = 0.
c) La ecuación de la directriz es y − 5 = 0 y el foco es el punto F (−5,0)
d) El vértice es el punto V (2,8) y su foco es F (6,8).
e) El foco es F (0,5) y directriz el eje X.
f) El lado recto es el segmento cuyos extremos son (2,− 4) y (2,6), además, se abre a la derecha.
Respuestas
Vértice, foco, directriz, son elementos gráficos que se pueden identificar en una parábola.
Vamos a aplicar las ecuaciones siguientes:
Parábola de eje horizontal: (y - k)² = ±4p(x - h)
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
a) Su vértice es el origen, la distancia focal es 3 y se abre hacia la izquierda.
Parábola de eje horizontal con: h = 0 k = 0 p = 3
Ecuación: (y - 0)² = -4(3)(x - 0) ⇒ y² = -12x
b) Su foco es el punto F (4,6) y la ecuación de la directriz es x + 6 = 0.
Dado que la directriz es una recta vertical x = -6, y el foco se encuentra en el punto (4, 6) podemos calcular la distancia p como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de 10 unidades, desde x = -6 hasta x = 4, por lo que p = 5. Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada x aquella que corresponda al desplazamiento una distancia p desde el foco hacia la izquierda y coordenada y igual a la del foco.
Parábola de eje horizontal con: h = -1 k = 6 p = 5
Ecuación: (y - 6)² = 4(5)(x - (-1)) ⇒ (y - 6)² = 20(x + 1)
c) La ecuación de la directriz es y − 5 = 0 y el foco es el punto F (−5,0)
Dado que la directriz es una recta horizontal y = 5, y el foco se encuentra en el punto (-5, 0) podemos calcular la distancia p como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de 5 unidades, desde y = 5 hasta y = 0, por lo que p = 5/2. Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada y aquella que corresponda al desplazamiento una distancia p desde el foco hacia arriba y coordenada x igual a la del foco.
Parábola de eje vertical con: h = -5 k = 5/2 p = 5/2
Ecuación: (x - (-5))² = -4(5/2)(y - 5/2) ⇒ (x + 5)² = -10(y - 5/2)
d) El vértice es el punto V (2,8) y su foco es F (6,8).
Dado que el vértice y el foco se encuentran sobre la recta y = 8 podemos calcular la distancia entre el foco y el vértice por diferencia de las coordenadas x, por lo que p = 4.
Parábola de eje horizontal con: h = 2 k = 8 p = 4
Ecuación: (y - 8)² = 4(4)(x - 2) ⇒ (y - 8)² = 16(x - 2)
e) El foco es F (0,5) y directriz el eje X.
Dado que la directriz es una recta horizontal y = 0, y el foco se encuentra en el punto (0, 5) podemos calcular la distancia p como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de 5 unidades, desde y = 0 hasta y = 5, por lo que p = 5/2. Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada y aquella que corresponda al desplazamiento una distancia p desde el foco hacia la abajo y coordenada x igual a la del foco.
Parábola de eje vertical con: h = 0 k = 5/2 p = 5/2
Ecuación: (y - 5/2)² = 4(5/2)(x - 0) ⇒ (y - 5/2)² = 10x
f) El lado recto es el segmento cuyos extremos son (2,− 4) y (2,6), además, se abre a la derecha.
El lado recto es una cuerda cuyo punto medio es el foco. En este caso el foco se encuentra en el punto (2, 1). A su vez, la longitud del lado recto es igual a cuatro veces la distancia del foco al vértice; por lo que podemos calcular la distancia p como la cuarta parte de la distancia entre los puntos (2, -4) y (2, 6); es decir, 10 unidades de distancia. En este caso, la distancia p = 5/2. Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada x aquella que corresponda al desplazamiento una distancia p desde el foco hacia la izquierda y coordenada y igual a la del foco.
Parábola de eje horizontal con: h = -1/2 k = 1 p = 5/2
Ecuación: (y - 1)² = 4(5/2)(x - (-1/2)) ⇒ (y - 1)² = 10(x + 1/2)