Question

Si 5^30 se representa en el sistema senario, ¿cuál
es la cifra de unidades?
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Answer 1

¡Buenas!

Tema: Divisibilidad

$\textbf{Problema :}$

Si $5^{30}$ se representa en el sistema senario, ¿cuál  es la cifra de unidades?

RESOLUCIÓN

Antes que nada debemos conocer que todo numeral escrito en una base $n$ se puede representar como múltiplo de $n$ aumentado en su última cifra. Mencionando algunos ejemplos $999632 = \dot{10} + 2$ y $12345_{(7)} = \dot{7} + 5$.

En esencia debemos encontrar $r$ de la igualdad $5^{30} = \dot{6} + r$

Debido a que $5$ es $6-1$ entonces podemos expresar $5$ como un múltiplo de 6 disminuido en la unidad.

                                                  $5 = \dot{6} -1$

Entonces

                                      $(\dot{6} -1)^{30} = \dot{6} +r$

Usando $(\dot{n} -r)^{p} = n+r^{p}$ Donde $p$ es un número par.

                               $(\dot{6} -1)^{30} = \dot{6} + 1^{30} = \dot{6} + 1 = \dot{6} + r$

Se logra $r=1$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La cifra de las unidades es la unidad}}$

Answer 2

Si 5³⁰ se representa en el sistema senario, la cifra de las unidades es uno (1).

El sistema de numeración llamado sistema senario, utiliza los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 para representar a todos los números.  

Para ello el número decimal dado se divide entre 6, y el cociente se divide de nuevo entre 6 y así hasta que el cociente obtenido sea menor a 6.  

El nuevo número en el sistema senario, se escribe con los residuos, empezando por el último obtenido y hasta el primero. Como solo se piden las unidades, que es el último número decimal, basta con la primera división:

El primer paso es calcular 5³⁰ = 931.322.574.615.478.515.625

Dividendo: 931322574615478515625

Divisor: 6

cociente: 1552204291025797752604

residuo: 1

Entonces el número de las unidades del número senario es 1.

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