Question

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior
BF. Si AF =3 cm, BC =7 cm y m<BAC = 2m<ACB,
calcula AB.
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Answer 1

¡Buenas!

Tema: Trazos Auxiliares

$\textbf{Problema :}$

En un triángulo $\triangle \textrm{ABC}$ se traza la bisectriz interior  $\textrm{BF}$. Si $\textrm{AF} = 3\ \textrm{cm}$, $\textrm{BC} = 7\ \textrm{cm}$ y $\textrm{m} \angle \textrm{BAC} = 2 \textrm{m} \angle \textrm{ACB}$,  Encuentre $\textrm{AB}$.

RESOLUCIÓN

Empecemos prolongando $\overline{\textrm{FA}}$ hasta un punto $\textrm{N}$ tal que $\textrm{AN} = \textrm{AB}$ con lo cual el triángulo $\triangle \textrm{ABN}$ es isósceles por ende $\textrm{m} \angle \textrm{BAC} = 2 \textrm{m} \angle \textrm{ANB} = 2 \textrm{m} \angle \textrm{NBA}$ Note que $\textrm{m} \angle \textrm{NFB} = \textrm{m} \angle \textrm{NBF} = \textrm{m} \angle \textrm{FBC} + \textrm{m} \angle \textrm{FCB}$ Entonces el triángulo $\triangle \textrm{NBF}$ es isósceles con $\textrm{NF} = \textrm{NB}$. Notemos además el triángulo isósceles $\triangle \textrm{NBC}$ entonces $\textrm{NB} = \textrm{BC} = 7$ y como $\textrm{NF} = \textrm{NB}$ entonces $\textrm{AB} + 3 = 7$. Finalmente se concluye $\textrm{AB} = 4$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{AB} = 4}$