Question

Hallar el lugar geometrico de los puntos cuyo cuadrado de su distancia al (3, -2) sea igual a su distancia a la recta 5x ‐12y ‐13 = 0​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Lugar Geométrico

$\textbf{Problema :}$

Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos cuyo cuadrado de su distancia al punto $\textrm{Q} = (3\ ;\ -2)$ sea igual a su distancia a la recta $\textrm{L :}\ 5x-12y-13=0$

RESOLUCIÓN

El cuadrado de la distancia $\textrm{d}$ entre un punto genérico $\textrm{P} = (x\ ;\ y)$ y el punto $\textrm{Q} = (3\ ;\ -2)$ es.

                                       $\textrm{d}^{2} = (x-3)^{2} + (y+2)^{2}$

Además la distancia $\textrm{q}$ de un punto genérico $\textrm{Q} = (x\ ;\ y)$ y la recta $\textrm{L :}\ 5x-12y-13=0$ es.

                                       $\textrm{q} = \dfrac{|5x-12y-13|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}$

Según condición del problema $\textrm{d}^{2} = \textrm{q}$ Entonces.

                           $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = \dfrac{|5x-12y-13|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}$

                           $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = \dfrac{|5x-12y-13|}{13}$

Asumiendo $5x-12y-13 > 0$ entonces $|5x-12y-13| = 5x-12y-13$

                           $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = \dfrac{5x-12y-13}{13}$

                           $13(x-3)^{2} + 13(y+2)^{2} = 5x-12y-13$

Luego de una serie de transformaciones se llega a lo siguiente.

                           $13x^{2} - 83x +13y^{2} +64y +182=0$

Completando cuadrados.

                           $\left( x - \dfrac{83}{26} \right)^{2} + \left( y + \dfrac{32}{13} \right)^{2} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2}$

Donde se puede identificar que se trata de la ecuación de una circunferencia con centro en las coordenadas $\textrm{C} = \left( \dfrac{83}{26}\ ;\ - \dfrac{32}{13} \right)$ y radio $\textrm{r} = \dfrac{3}{2}$.

Sin embargo quizá falten aún más puntos los cuales encontraremos al asumir $5x-12y-13 < 0$ y $5x-12y-13 = 0$

Asumiendo $5x-12y-13 < 0$ entonces $|5x-12y-13| = -5x+12y+13$ Entonces.

                           $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = \dfrac{-5x+12y+13}{13}$

Luego de una serie de transformaciones se llega a lo siguiente.

                           $\left( x - \dfrac{73}{26} \right)^{2} + \left( y + \dfrac{20}{13} \right)^{2} = - \dfrac{7}{4}$

Donde se puede observar que no existen pares ordenados que cumplan tal condición, ya que de ningún modo la suma de dos cuadrados puede dar un número negativo.

Se sigue un procedimiento similar para $5x-12y-13 = 0$ de donde $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 0$ lo cual ocurre si y solo si $x=3$ y $y=-2$ sin embargo este par ordenado no cumple con $5x-12y-13 = 0$ por ende no existen pares ordenados que cumplan la condición.

Se concluye finalmente que necesariamente $5x-12y-13 > 0$ con lo cual el lugar geométrico es la circunferencia ya mencionada.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Se trata de una circunferencia con}\ \textrm{C} = \left( \dfrac{83}{26}\ ;\ - \dfrac{32}{13} \right) \textrm{y radio}\ \textrm{r} = \dfrac{3}{2}}$