10 -Dos poblados Pa y Pb están a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de la línea, ¿cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable?
Respuestas
Dos poblados Pa y Pb están a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión. Cuando x es igual a 1,6 km la longitud del cable es la mínima de 6,4 km aproximadamente
Optimizacion:
Sea C el punto de conexión
l: longitud del cable para conectar Pa y Pb
l = PaC +PbC
Aplicamos Teorema a de Pitagoras:
l = √(x²+2²) + √(4-x)²+3²
l= √x²+4 +√(4-x)²+9
l = (x²+4)∧1/2 + [(4-x)²+9]∧1/2
Derivando y obteniendo puntos críticos:
I`= 1/2(x²+4)∧-1/2 (2x) +1/2 [(4-x)²+9]∧- 1/2 * 2(4-x)(-1)
I`= x/√x²+4 -(4-x)/ (√(4-x)²+9)
I`= 0
x/√x²+4 = (4-x)/ (√(4-x)²+9)
x (√(4-x)²+9) = (4-x) √x²+4
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad
x²(4-x)² +9 = (4-x)²(x²+4)
x²(4-x)²+9x² = x²(4-x)² +(4-x)²
9x² = 4(4-x)²
9x² = 4(16-8x+x²)
5x²+32x-64 = 0
Ecuación de segundo grado que resulta en:
x₁ =-8
x₂=1,6
¿cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable?
Sustituimos x = 0 x = 1,6 y x= 4 en:
l = √(x²+2²) + √(4-x)²+3²
l(0) = 7 km
l(1,6) 6,5 km
l(4) = 7,5 km
Cuando x es igual a 1,6 km la longitud del cable es la mínima de 6,4 km aproximadamente
