Question

8 -Una página ha de contener 30 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm y los laterales de 1 cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel.

Answer 1

Respuesta:

Se sabe que xy = 30 cm2.

Explicación paso a paso:

Se sabe que xy = 30 cm2.

Se quiere minimizar el ´area de la p´agina de papel, esto es: A = (x + 2)(y + 4).

Entonces, el ´area es una funci´on de dos variables, x, y.

Pero como xy = 30 ⇒ y = 30

x

, sustituyendo este valor en la expresi´on para el ´area de la p´agina,

queda como funci´on de la ´unica variable x, a saber:

A(x)=(x + 2) 30

x

+ 4

= 30 + 4x +

60

x

+8=4x + 60x−1 + 38.

Para hallar los puntos cr´ıticos se deriva

A0

(x)=4 − 60

x2 = 0 ⇔ 4 = 60

x2 ⇔ x2 = 15 ⇔ | x | = √

15.

Por lo que

x = √

15;

y = 30

√15 = 30√15

15

= 2√

15 = 2x.

Como A00(x) = (4 − 60x−2)0 = 120

x3 > 0, se trata, en efecto, de un m´ınimo.