Question

Determine todas las
parejas de enteros
positivos (m, n)
tales que
$m ^{n} = 2^{12}$
Ayúdenme porfa​

Answer 1

Hay 6 parejas de enteros positivos y son (4096,1); (64,2); (16,3), (8,4), (4,6), (2,12)

Si $m ^{n} = 2^{12}$ entonces:

$m ^{n} =4096}$ entonces:

$m = (4096)^{\frac{1}{n} }$

Entonces queremos encontrar los enteros positivos tales que son potencia de 4096, tenemos que debe ser par, pues 4096 es par, y la multiplicación de dos o mas impares es impar

, además el truco esta en ver para que "n" entero y positivo, la raíz enésima es entera y positiva.

Ya sabemos que para para n =1 tenemos el par (4096,1) se cumple y para  n =12 se cumple pues evidentemente el par (2,12) cumple la condición. Probemos con otros valores para n

Si n = 3

$\sqrt[3]{4096} = 16$ tenemos el par (16,3)

Si n = 4

$\sqrt[4]{4096} = 8$ tenemos el par (8,4)

Si n = 5

$\sqrt[4]{4096} = 5.27803$

Si n = 6

$\sqrt[6]{4096} =4$ tenemos el par (4,6)

Si n = 7

$\sqrt[7]{4096} =3.2812$

Si n = 8

$\sqrt[9]{4096} =2.82$

Si n = 9

$\sqrt[9]{4096} =2.51$

Si n = 10

$\sqrt[6]{4096} =2.29$

Si observamos la imagen tenemos las pruebas para n = desde 1 hasta n = 102, en las columnas entero tiene "1" si la división es entera y  vacía si no lo es.

Vemos que a medida que aumente el n va a disminuyendo el valor de "m" ya para n = 102 m vale 1,084963914  Lo que implica que solo me falta el n tal que m sea 1, pero m no puede ser 1 pues uno a la cualquier potencia es 1, por lo tanto los números presentes en la imagen cuya columna de enteros dice 1 son lo que cumple con la condición.

Si los contamos vemos que son: 6 y los pares son : (4096,1); (64,2); (16,3), (8,4), (4,6), (2,12)