3. Una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior, debe tener un volumen de 32,000 cm3. Encuentra las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que ha de utilizarse.
Respuestas
Las dimensiones de una caja abierta: La caja tiene base y tapa cuadrada de lado 30,15 cm y una altura de 35,18 cm
Optimización:
V = 32000cm³
Los datos para construir la caja son
L: Lado de la base cuadrada
H : Altura de la caja
Volumen de la caja cuadrada
V = L²*H
H = V/L²
Áreas laterales = 3 * (L*H + L*H + L*H+ L*H)
Áreas laterales = 3 * 4 L H
Áreas laterales = 12 L H
Áreas tapa = 2 L²
Áreas base = 5 L²
Total = 5 L² + 2 L²+ 12 L H
Total = 7 L² + 12 L H
Sustituimos H
Total = 7 L² + 12 L (V/L²)
Total = 7 L² + (12 V /L)
Derivamos e igualemos a cero para obtener las dimensiones mínimas:
14 L - (12V) (1/L²) = 0
14 L = (12V) / L²
14 L³ = 12 V
L³ = (12/14) V
L³= (6/7) V
L =∛ (6*32000 cm³ / 7)
L =30,15 cm
H = V / L²
H = 32000cm²/(30,15cm)²
H = 35,18 cm
La caja tiene base y tapa cuadrada de lado 30,15 cm y una altura de 38,18 cm
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Respuesta:
Respuesta el ancho es de 20cm*20cm por un lato de 80cm=32000cm^3
Explicación paso a paso:
Se requiere construir una caja con base cuadrada y parte superior abierta con un volumen de 32000 〖cm〗^3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
Solución:
Datos: volumen = V 32000 cm3 Largo=x; Ancho=x; Alto=y
x^2 y=32000 ; área total es: A_t=x^2+4xy ; ahora despejo la altura: y=32000/x^2 ; ahora área en términos de x(ancho): A(x)=x^2+4x 32000/x^2 ahora puedo eliminar una (x): A(x)=x^2+128000/x, ahora empiezo a sacar mi derivada No1: A(x)=x^2+128000x^(-1); aplico derivada de una potencia
A ̇(x)=2x-128000x^(-2) ; segunda derivada es: A ̈(x)=2+256000x^(-3), tomo la derivada prima 1: A ̇(x)=2x/1-128000/x^2 ⇒A ̇(x)=(2x^3-128000)/x^2 ⇒A ̇(x)=(2(x^3-64000) )/x^2
Ahora los factores de la función los igualo a (0):
x^3-64000=0
x^3=64000
x=√(3&64000)
x^2=0⇒x=√(0 )⇒ x=0
Ahora tomo la segunda derivada y la sustituyo para hallar mi valor mínimo:
A ̈(∛64000)=2+256000(∛64000)^(-3)
A ̈(∛64000)=2+256000/〖∛64000〗^3
A ̈(∛64000)=2+256000/64000
A ̈(∛64000)=2+256000/64000
A ̈(∛64000)=0+4=4
Ahora hayo la altura con: y=32000/〖(∛(64000))〗^2 =