La velocidad v de un paracaidista en caída libre está bien modelada por la ecuación diferencial metro dv dt = mg - kv2, donde m es la masa del paracaidista, g es la constante gravitacional y k es la resistencia coeficiente determinado por la posición del buceador durante la inmersión. (tenga en cuenta que la las constantes m, g y k son positivas.) (a) realizar un análisis cualitativo de este modelo. (b) calcule la velocidad terminal del paracaidista. expresa tu respuesta en términos de m, gy k.
Respuestas
La aceleración es la derivada de la posición respecto del tiempo
a = dv/dt = m g - k v²
La aceleración disminuye a medida que aumenta la velocidad.
Cuando la aceleración se anula la velocidad se mantiene constante.
A esta velocidad se la conoce velocidad terminal.
b) a = 0 = m g - k V²
V = √(m g / k) es la velocidad terminal
a) Podemos hallar la velocidad en función del tiempo
dv/dt = m g - k v²
Luego dt = ∫[dv / (m g - k v²)
Para t = 0 es v = 0.
Supongo que sabes integrar. Utilizo un procesador matemático simbólico (Derive versión 5)
t = - 1 / [2 √(m g k)] . LN [√k . v - √(m g)] / [√k . v - √(m g)]
Esta relación es el tiempo en función de la velocidad.
Debemos despejar v de esa relación.
v = √(m g / k) . [(eᵇ - 1) / (eᵇ + 1)]
Siendo b = 2 √(m g k) . t
Recordemos que √(m g / k) es la velocidad terminal.
Observemos que si t tiende a infinito, (eᵇ - 1) / (eᵇ + 1) tiende a 1 y v se hace igual a la velocidad terminal.
Saludos Herminio