Question

se tiene un carton de 20 cm de largo por 15 cm de ancho. Se quiere hacer una caja con tapa, ¿Cual ha de ser la altura de la caja para que el volumen sea maximo?

Answer 1

Supongamos que tiene altura x (observa la figura), entonces el volumen de dicha caja quedaría expresada como:

$V=(20-2x)(15-2x)(x)$

Ahora obtenemos el dominio para x, despues veras su utilidad. Como las dimensiones de la caja son positivas (no pueden ser negativas porque no existen longitudes negativas) entonces el ancho, largo y altura deben ser mayores que 0, es decir:

$20-2x>0\\-2x>-20\\2x<20\\x<10\\\\\\15-2x>0\\-2x>-15\\2x<15\\x<\frac{15}{2}\\\\\\x>0$

De aqui tenemos:

$x<10\\Entonces:\\x\in(-\infty,10)\\\\\\x<\frac{15}{2}\\Entonces:\\x\in(-\infty,\frac{15}{2})\\\\\\x>0\\Entonces:\\x\in(0,\infty)$

Intersectamos los intervalos y nos queda:

$x\in(0,\frac{15}{2})$

Ahora desarrollamos nuestra función del volumen:

$V=(20-2x)(15-2x)(x)\\V=(20-2x)(15x-2x^{2})\\V=4x^3-70x^2+300x$

Ahora derivamos la función y despues la igualamos a 0 y resolvemos:

$V=4x^3-70x^2+300x\\V'=12x^{2}-140x+300\\0=12x^{2}-140x+300\\0=2(6x^{2}-70x+150)\\0=6x^{2}-70x+150\\0=3x^{2}-35x+75\\\\x=\frac{35\pm\sqrt{35^{2}-4(3)(75)}}{2(3)}=\frac{35\pm\sqrt{1225-900}}{6}=\frac{35\pm\sqrt{325}}{6}\\x=\frac{35+\sqrt{325}}{6}\approx8.83\\x=\frac{35-\sqrt{325}}{6}\approx2.82$

Ahora regresando a nuestro intervalo, nos dice que x debe ser mayor que cero pero menor que 7.5 y eso solo se cumple cuando x=2.82, por lo tanto esa es la altura.

Para comprobarlo, sacamos la segunda derivada de la función del volumen:

$V'=12x^{2}-140x+300\\V''=24x-140$

Ahora al evaluar con x=2.82 si el resultado es positivo entonces abremos encontrado un minimo pero si sale negativo entonces tendremos un maximo y por tanto la altura de 2.82 es la indicada para obtener un volumen maximo:

$24x-140\\24(2.82)-140=67.68-140=-72.32$

efectivamente el resultado es negativo, por lo tanto la altura devbe ser de 2.82 o mas exacto:

$x=\frac{35-\sqrt{325}}{6}$