Question

Si ax al cuadrado +bx+2 es divisible por: (x-2) y (x-a), halla :
4(2a+b),además a>0

Answer 1

La división es exacta cuando el residuo es nulo. A partir de esta premisa se puede hallar el valor de 4(2a + b) que es igual a -4.

Explicación:

1.- Dado que el polinomio  $ax^{2}+bx+2$  es divisible por:  (x  -  2)  y  (x  -  a), podemos hallar los valores de  a  y  b  resolviendo las divisiones e igualando a cero los residuos.

$\frac{ax^{2}+bx+2}{x-2}=ax+2a+b$

De esta operación se obtiene el siguiente residuo:  4a  +  2b  +  2

$\frac{ax^{2}+bx+2}{x-a}=ax+a^{2}+b$

De esta operación se obtiene el siguiente residuo:  $a^{3}+ab+2$

2.- Construimos un sistema de ecuaciones con los residuos igualados a cero:

$\left \{ {{4a+2b+2=0} \atop {a^{3}+ab+2=0}} \right.$

De la primera ecuación obtenemos que    b  =  -2a  -  1

Sustituyendo en la segunda ecuación:    $a^{3}-2a^{2}-a+2=0$

El polinomio de tercer orden tiene tres soluciones para  a  y  b:

a  =  1    ∧    b  =  -3

a  =  2    ∧    b  =  -5

a  =  -1    ∧    b  =  1

3.- El problema planteado tiene por restricción que  a > 0, por lo que trabajamos con los dos primeros valores para hallar el valor de  4(2a+b):

a  =  1    ∧    b  =  -3        ⇒      4(2(1)  +  (-3))  =  -4

a  =  2    ∧    b  =  -5        ⇒      4(2(2)  +  (-5))  =  -4