Calcular cuantos números de tres cifras en el sistema decimal solo utilizan un 3 en su escritura.

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Respuesta dada por: Mainh

¡Buenas!

Tema: Conteo

$\textbf{Problema :}$

Calcular cuantos números de tres cifras en el sistema decimal solo utilizan un $3$ en su escritura.

RESOLUCIÓN

Un método práctico para encontrar cuantos números de tres cifras solo utilizan un $3$ en su escritura es haciendo lo siguiente.

Representaremos a dicho número de tres cifras de esta forma $\overline{abc}$ el cual por defecto se encuentra en el sistema decimal.

Como el numeral solamente puede tener en una de sus cifras el número $3$ vamos a contar todos los posibles casos.

Asumiendo lo siguiente $\overline{3bc}$ , este numeral nos ayudará a encontrar a todas los números que tienen únicamente al $3$ en su primera cifra.

Los valores que puede tomar $b$ son $\{0;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ . Note que no incluimos al $3$ en los valores de $b$ porque por condición del problema la cifra $3$ solo puede aparecer una vez. Los valores que puede tomar $c$ son $\{0;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ .

Usando el principio de multiplicación nos percatamos que existen un total de $1 \times 9 \times 9 = 81$ posibles números que tienen solo la cifra $3$ en su primera cifra.

Análogamente $\overline{a3c}$ los valores que puede tomar $a$ son $\{ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ y los valores que puede tomar $c$ son $\{0;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ . Note que $a$ no puede ser cero, porque de ser el caso el numeral carece de sentido.

Existen un total de $8 \times 1 \times 9 = 72$ posibles números que tienen solo la cifra $3$ en su segunda cifra.

Análogamente $\overline{ab3}$ los valores que puede tomar $a$ son $\{ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ y los valores que puede tomar $b$ son $\{0;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \}$ .