Question

Un cuerpo de masa m se mueve en linea recta hacia el punto O el cual lo atrae con una fuerza
βm/x3 , donde x es la distancia del cuerpo al punto O. El movimiento comienza del estado de
reposo en x = α. Hallar el tiempo en que el cuerpo llega al punto O.

Answer 1

Calculamos el tiempo en que el cuerpo llega al punto O.

• El tiempo es $t = \sqrt{\frac{\big{2x^3(x-\alpha)}}{\big{\beta}}}$

Datos:

Masa del cuerpo: m = m.

Fuerza de atracción: $F = \frac{\big{\beta*m}}{\big{x^3}}$

Distancia desde el punto O: x = x.

Velocidad inicial: V₀ = 0.

Distancia inicial: x = α.

Procedimiento:

A partir de la ecuación de la fuerza, determinamos la aceleración del cuerpo:

$\boxed{F = m*a} \quad \longrightarrow \frac{\big{\beta*m}}{\big{x^3}} = m*a \quad \longrightarrow a = \frac{\big{\beta}}{\big{x^3}}$

A partir de la formula de distancia de un movimiento acelerado tenemos que:

$\boxed{X = X_0 + V_0*t+\frac{1}{2} *a*t^2}$

Como la velocidad inicial es cero, reemplazando los valores y despejando el tiempo nos queda:

$x = \alpha+\frac{\big{1}}{\big{2}} *\frac{\big{\beta}}{\big{x^3}} *t^2 \quad \longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{\big{2x^3(x-\alpha)}}{\big{\beta}}}$