Question

Un tanque de gasolina se puede modelar por un solido generado al girar la region acotada por la grafica: x^2 /16 + y^2/9 = 1 alrededor del eje y donde x y y so medidos e metros ¿A que altura llega la gasolina e el tanque cuando se llena a u cuarto de su capacidad?

Answer 1

El tanque tiene una capacidad de 64π m³. Un cuarto de la capacidad del tanque es 16π m³ y cuando la gasolina ocupa este espacio su altura es de 2 metros.

Explicación paso a paso:

Vamos a resolver el problema usando el método de anillos para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:  

$V=2\pi \int\limits^a_b {p_{(x)}h_{(x)} \, dx$

donde:  

(a, b) es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración  

p₍ₓ₎ es la distancia del rectángulo genérico al eje de giro y representa el radio promedio del anillo de revolución que se genera.  

h₍ₓ₎ es la altura del rectángulo genérico y representa la altura promedio del anillo de revolución que se genera.  

dx es el espesor del anillo de revolución que se genera.

En el caso que nos ocupa, el volumen total del tanque viene dado por:  

$V=2\pi \int\limits^4_0 (x)(\sqrt{9(1-(\frac{x^{2}}{16}))}-(-\sqrt{9(1-(\frac{x^{2}}{16}))}))\, dx$ ⇒  

$V=12\pi \int\limits^4_0 (x)\sqrt{1-(\frac{x^{2}}{16})}\, dx$ ⇒  

$V=12\pi \int\limits^0_1 (-8)\sqrt{u}\, du=64\pi$

m³

Si el tanque está lleno a un cuarto de su capacidad, significa que tiene 16π m³ de gasolina.

Para conocer la altura que alcanza la gasolina en el tanque plantearemos la integral de volumen desde el fondo del tanque hasta una recta horizontal que corta al eje de la y en el punto "a". Este volumen es igual a 16π m³.

$V=2\pi \int\limits^4_0 (x)(a-(-\sqrt{9(1-(\frac{x^{2}}{16}))}))\, dx=16\pi$ ⇒  

$2\pi \int\limits^4_0 (x)(a)\, dx-2\pi \int\limits^4_0 (x)(\sqrt{9(1-(\frac{x^{2}}{16}))})\, dx=16\pi$ ⇒ a = -1

La recta tope de la porción del tanque que ocupa la cuarta parte de su capacidad es y = -1. El fondo tiene base en y = -3; lo que implica que la distancia o altura de la gasolina en ese espacio es de 2 metros.