ABCD cuadrado de lado 10 cm. E, G puntos medios. Determine el área del rectángulo sombreado.

Respuestas

Respuesta dada por: mafernanda1008

El área del rectángulo es 40 cm²

Falta la imagen adjunta al problema, por lo tanto añadimos la misma:

El área del cuadrado es:

A cuadrado = 10 cm * 10 cm = 100 cm ²

Como E y F son puntos medios entonces DE = 10cm/2 = 5 cm.

Ahora para determinar la altura del rectángulo, busquemos la hipotenusa del triangulo rectángulo ADF, AD = 10 cm, AF = 5 cm, usando pitagoras:

DF²= (10cm)²+(5cm)² = 100 cm²+25 cm² = 125 cm²

DF = √(125 cm²) = 5 √5 cm

Ahora puedo encontrar el angulo formado por FA y FD

cos(β) = CA / H

cos(β) = 5 cm / 5 √5 cm = 1/ √5 = √5/5

β = arcocos(√5/5) = 63.4349°

Por lo que el otro angulo de dicho triangulo mide 180° - 63.4349° - 90° = 26.5651 °

Si nos fijamos por encima y por debajo de la región sombreada tenemos dos triángulos rectángulos de iguales dimensiones.

El triángulo superior tiene dos catetos: y uno de ellos es la base del rectángulo sombreado, y el otro es lo que le sobra a la hipotenusa del triangulo AFD para ser la altura del rectángulo.

Del triangulo que esta por encima del rectángulo tenemos:

- La hipotenusa es DE = 5cm

- El angulo entre las rectas DC y DF es 90° - 26.5651 °= 63.4349°.

Por lo tanto usando la ecuación de coseno el cateto adyacente sera:

cos(63.4349°) = Cateto adyacente/ hipotenusa

Cateto Adyacente = cos(arcocos(√5/5))* hipotenusa = (√5/5)*5 =√5

De aquí la altura del rectángulo es: 5 √5 cm - √5 cm = 4√5 cm

Ahora usando pitagoras sobre el triangulo que esta por encima de la región sombreada tenemos que la base del rectángulo "b" es:

(5 cm)² = (√5 cm )² +b²

25 cm²- 5 cm² = b²

20 cm ² = b²

b= √20 cm