Question

Un modelo utilizado para el rendimiento Y de una producción agrícola como función del nivel de nitrógeno N en el suelo es: () = 1 2 , donde K es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeno ofrece el mejor rendimiento? (El resultado quedará expresado en función de la constante K).

Answer 1

La función $y=\frac{kn}{1+n^{2} }$ tiene un mínimo en (-1,-k/2) y un máximo en (1, k/2); es decir, el nivel de nitrógeno que ofrece el mejor rendimiento es k/2.

Explicación:

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de y.

$y'=\frac{k(1+n^{2})-kn(2n)}{(1+n^{2})^{2}}=\frac{k(1-n^{2})}{(1+n^{2})^{2}}$

y' = 0 ⇒ $\frac{k(1-n^{2})}{(1+n^{2})^{2}}=0$ ⇒

$(1-n^{2})=0$ ⇒ n = ±1

Estos son los puntos críticos o posibles extremos de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$y''=\frac{k(-2n)(1+n^{2})^{2}-(1-n^{2})2(1+n^{2}){2n}}{(1+n^{2})^{4}}=\frac{(-2nk)(3-n^{2})}{(1+n^{2})^{3}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$y''_{(-1)}>0$ ⇒ n = -1 es un mínimo de la función y.

$y''_{(1)}<0$ ⇒ n = 1 es un máximo de la función y.

Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de n y obtenemos el valor máximo de y; es decir, el valor del nivel de nitrógeno que ofrece el mejor rendimiento Y de la producción agrícola.

$y_{(1)}=\frac{k}{2}$