Question

Ayúdenme con esta integral por partes, por favor

Answer 1

Respuesta:

∫x.√(1 - x²).cos⁻¹(x) = -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - (1/3).(x - x³/3) + C

Explicación:

∫x.√(1 - x²).cos⁻¹(x) dx

se definen las funciones u(x) y V(x) como

u(x) = cos⁻¹(x)

V(x) = x.√(1 - x²)        con V(x) = dv/dx

por lo tanto, se procede a integrar según la estructura

∫u(x).V(x) = u(x).v(x) - ∫U(x).v(x)    (*)

1) se calcula v(x)

si dv/dx = V(x)    ⇒  dv = V(x) dx   se integran ambos miembros

∫ dv = ∫ V(x) dx  ⇒  v(x) = ∫x.√(1 - x²) dx resolviendo por sustitución

β = 1 - x²   ⇒    dβ/dx = -2x   ⇒   -dβ/2 = x dx   por lo tanto

v(x) = ∫√β (-dβ/2) = - (1/2) ∫ √β dβ = -(1/2).(√(β³)/(3/2)) + c = -(1/3).β√β + c

entonces, con la hipótesis de c = 0

v(x) = -(1/3).(1 - x²).√(1 - x²)

2) se reemplaza lo calculado en (*)

∫cos⁻¹(x).x.√(1 - x²) = cos⁻¹(x).(-(1/3).(1 - x²).√(1 - x²)) - ∫U(x).v(x)

                             = -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - ∫U(x).v(x)

se calcula U(x)

U(x) = du/dx = -1/√(1 - x²)

en consecuencia

∫cos⁻¹(x).x.√(1 - x²) =

= -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - ∫(-1/√(1 - x²)).(-(1/3).(1 - x²).√(1 - x²))

= -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - (1/3) ∫ (1 - x²)

se resuelve la integral inmediata

∫ (1 - x²) = ∫ 1 - ∫ x²  = (x + c₁) - (x³/3 + c₂) = x - x³/3 + (c₁ - c₂) = x - x³/3 + c₄

entonces

∫cos⁻¹(x).x.√(1 - x²) = -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - (1/3).(x - x³/3 + c₄)

∫cos⁻¹(x).x.√(1 - x²) = -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - (1/3).(x - x³/3) - (1/3).c₄

∫cos⁻¹(x).x.√(1 - x²) = -(1/3).cos⁻¹(x).(1 - x²).√(1 - x²) - (1/3).(x - x³/3) + C