ABCD lado cuadrado de 10 cm. Puntos medios E, G Determine el área del rectángulo sombreado.
Respuestas
El área de un rectángulo 40 cm²
El área del cuadrado es:
A cuadrado = 10 cm * 10 cm = 100 cm ²
Como E y F son puntos medios entonces DE = 10cm/2 = 5 cm.
Ahora para determinar la altura del rectángulo, busquemos la hipotenusa del triangulo rectángulo ADF, AD = 10 cm, AF = 5 cm, usando pitagoras:
DF²= (10cm)²+(5cm)² = 100 cm²+25 cm² = 125 cm²
DF = √(125 cm²) = 5 √5 cm
Ahora puedo encontrar el angulo formado por FA y FD
cos(β) = CA / H
cos(β) = 5 cm / 5 √5 cm = 1/ √5 = √5/5
β = arcocos(√5/5) = 63.4349°
Por lo que el otro angulo de dicho triangulo mide 180° - 63.4349° - 90° = 26.5651 °
Si nos fijamos por encima y por debajo de la región sombreada tenemos dos triángulos rectángulos de iguales dimensiones.
El triángulo superior tiene dos catetos: y uno de ellos es la base del rectángulo sombreado, y el otro es lo que le sobra a la hipotenusa del triangulo AFD para ser la altura del rectángulo.
Del triangulo que esta por encima del rectángulo tenemos:
- La hipotenusa es DE = 5cm
- El angulo entre las rectas DC y DF es 90° - 26.5651 °= 63.4349°.
Por lo tanto usando la ecuación de coseno el cateto adyacente sera:
cos(63.4349°) = Cateto adyacente/ hipotenusa
Cateto Adyacente = cos(arcocos(√5/5))* hipotenusa = (√5/5)*5 =√5
De aquí la altura del rectángulo es: 5 √5 cm - √5 cm = 4√5 cm
Ahora usando pitagoras sobre el triangulo que esta por encima de la región sombreada tenemos que la base del rectángulo "b" es:
(5 cm)² = (√5 cm )² +b²
25 cm²- 5 cm² = b²
20 cm ² = b²
b= √20 cm
Luego sustituyendo la región sombreada tiene una área de:
A rectángulo = √20 cm * 4√5 cm = 40 cm²
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