Question

alguien me podria ayudar con estos problemas de calculo.gracias

Answer 1

Resolover integrales indefinidas requiere de varios métodos según el argumento de la integral.

1: $\int \frac{x^2-10x+4}{x^3}dx=\ln \left|x\right|+\frac{10}{x}-\frac{2}{x^2}+C$

Pasos:

Dividir la integral en partes y resolver.

$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{10}{x^2}dx+\int \frac{4}{x^3}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{10}{x}-\frac{2}{x^2}$

2: $\int \frac{\csc \left(\sqrt{x}\right)\cot \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx=-2\csc \left(\sqrt{x}\right)+C$

Pasos:

aplicamos sustitución $u=\sqrt{x}$

$=\int \:2\csc \left(u\right)\cot \left(u\right)du$

luego sutituir $v = \csc(u)$

$=2\cdot \int \:-1dv$

$=2\left(-1\right)v$

Luego aplicamos los cambios:

$=-2\csc \left(\sqrt{x}\right)+C$

3: $\int \:e^x\sin \left(x\right)dx=-\frac{e^x\cos \left(x\right)}{2}+\frac{e^x\sin \left(x\right)}{2}+C$

aplicamos integración por partes: $u = e^{x}    v'=sin(x)$

$=-e^x\cos \left(x\right)-\int \:-e^x\cos \left(x\right)dx$

$=-e^x\cos \left(x\right)-\left(-\left(e^x\sin \left(x\right)-\int \:e^x\sin \left(x\right)dx\right)\right)$

por lo tanto:

$\int \:e^x\sin \left(x\right)dx=-e^x\cos \left(x\right)-\left(-\left(e^x\sin \left(x\right)-\int \:e^x\sin \left(x\right)dx\right)\right)$

Despejamos:

$\int \:e^x\sin \left(x\right)dx=-\frac{e^x\cos \left(x\right)}{2}+\frac{e^x\sin \left(x\right)}{2}+C$

4: $\int \frac{1}{\left(4+x^2\right)^{\frac{5}{2}}}dx=\frac{x\left(x^2+6\right)}{24\left(x^2+4\right)^{\frac{3}{2}}}+C$

$=\int \frac{1}{32\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^{\frac{5}{2}}}dx$

sustituimos $x = 2tan(u)$

$=\frac{1}{32}\cdot \int \frac{2}{\sec ^3\left(u\right)}du$

$=\frac{1}{32}\cdot \:2\cdot \int \cos ^3\left(u\right)du$

$=\frac{x\left(x^2+6\right)}{24\left(x^2+4\right)^{\frac{3}{2}}}+C$

5: $\int \frac{x^2+2x-6}{x^3-x}dx=6\ln \left|x\right|-\frac{7}{2}\ln \left|x+1\right|-\frac{3}{2}\ln \left|x-1\right|+C$

Dividimos la expresión en fracciones parciales:

$\frac{x^2+2x-6}{x^3-x}:\quad \frac{6}{x}-\frac{7}{2\left(x+1\right)}-\frac{3}{2\left(x-1\right)}$

Luego integramos:

$=\int \frac{6}{x}dx-\int \frac{7}{2\left(x+1\right)}dx-\int \frac{3}{2\left(x-1\right)}dx$

$=6\ln \left|x\right|-\frac{7}{2}\ln \left|x+1\right|-\frac{3}{2}\ln \left|x-1\right|$

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