Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer
a) 4 ases
b) 4 ases y un rey
c) 3 dieces y 2 reinas
d) un 9, 10, jota, reina, rey en cualquier orden
e) 3 de un palo y 2 de otro
f) al menos un as
Respuestas
Las probabilidades pedidas son:
P( 4 ases ) = 0.0000184692
P( 4 ases y un rey) = 0.00000154026
P(3 dieces y 2 reinas) = 0.00000923446
P(un 9, 10, jota, reina, rey) = 0.000001539077
P(3 de un palo y 2 de otro ) = 0.00011081352
P( al menos un as) = 0.341159
La formula de probabilidad básica de que un evento A ocurra es:
P(A) = casos favorables/casos totales
En este ejercicio casos totales = combinaciones de 52 cartas en 4 elementos.
comb(52,5) = 52!/(52-5)!*5! = (52*51*50*49*48*47!)/(47!*120) = (52*51*50*49*48)/(120) = 2.598.960
Hallar la probabilidad de extraer .
a) 4 ases
Casos favorables: Hay en total 4 ases, una de cada palo, entonces los casos favorables son tomar estas 4 ases y en las 48 cartas tomar una de ellas, son en total 48 casos favorables
P( 4 ases ) = 48/2.598.960 = 0.0000184692
b) 4 ases y un rey
Casos favorables: Hay en total 4 ases, una de cada palo, entonces los casos favorables son tomar estas 4 ases y de los 4 reyes tomar uno de ellos, son en total 4 casos favorables
P( 4 ases y un rey) = 4/2.598.960 = 0.00000154026
c) 3 dieces y 2 reinas
Casos favorables: Hay en total 4 diez y 4 reinas, una de cada palo, entonces calculo las combinaciones de los 4 diez en 3 y del mismo modo de las 4 reinas en 2.
comb(4,3) =4!/(4-3)!*3! = 4*3!/(1!*3!) = 4
comb(4,2) = 4!/(4-2)!*2! = 4*3*2!/(2!*2) = 6
Casos favorables: 6*4 = 24
P(3 dieces y 2 reinas) = 24/ 2.598.960 = 0.00000923446
d) un 9, 10, jota, reina, rey en cualquier orden
Entonces nos como ya sabemos que hay 4 nueves, 4 diez, 4 jotas, 4 reinas y 4 rey, y debemos tomar una de ella, entonces hacemos en combinaciones de 4 en 1 para cada uno.
comb(4,1) = 4!/(4-1)!*1! = 4*3!/(3!) = 4
Casos favorables = 5*4 = 20
P(un 9, 10, jota, reina, rey) = 4/2.598.960 = 0.000001539077
e) 3 de un palo y 2 de otro
Casos favorables: Entonces tengo en total 4 palos, primero debo tomar de esos 4 palos dos, es decir, combinaciones de 4 en 2, luego de los dos palos seleccionados hago combinaciones de 4 en 3 y de 4 en 2, y multiplico por 2 pues no es lo mismo 3 de basto y 2 de copas que 3 de copas y dos de basto.
comb(4,2) = 4!/(4-2)!*2! = 4*3*2!/(2!*2) = 6
comb(4,3) =4!/(4-3)!*3! = 4*3!/(1!*3!) = 4
comb(4,2) = 4!/(4-2)!*2! = 4*3*2!/(2!*2) = 6
Casos favorables = 6*4*6*2 = 288
P(3 de un palo y 2 de otro ) = 288/ 2.598.960 = 0.00011081352
f) al menos un as: es la probabilidad de 1 as, 2 as, 3 as y as.
Es la probabilidad de 1 - P(no salgan as)
Para a probabilidad de que no salgan as los casos favorables son tomar las 52 cartas quitamos los 4 ases tenemos 48 cartas y combinamos en 5 elementos, para tener combinaciones de 48 en 5:
comb(48,5) = 48!/(52-5)!*5! = (48*47*46*45*44*43!)/(43!*120) = (48*47*46*45*44)/(120) = 1.712.304
P( no salgan as) = 1.712.304/2.598.960 = 0.658841
P( al menos un as) = 1-0.658841 = 0.341159
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De acuerdo con los problemas de probabilidades para la extracción de cartas, tenemos lo siguiente:
1.- La probabilidad de extraer 4 ases es de P(4) = 1/54145
En un juego de cartas hay un numero repetidos cuatro veces partiendo del Az hasta el Rey, pero la cantidad de cartas extraídas es de 5, por lo que determinamos la forma distinta que se pueden generar de las 52 cartas
- Usamos Combinaciones
C⁵²₅ = 52!/(52 - 5)!x5! = (52x51x50x49x48x47!)/(47!)x5!
C⁵²₅ = (52x51x50x49x48)/(5x4x3x2x1)
C⁵²₅ = 2598960
- La cantidad de extraer 5 cartas donde 4 de ellas sean ases
C⁴₄ = 1 y la que falta
C⁴⁸₁ = 48
p(4) = C⁴⁸₁ /C⁵²₅ =48/2598960
P(4) = 1/54145
2.- 4 ases y un rey P(4,1) = 1/649740
- Para lo 4 ases solo existirá una posibilidad
C⁴₄ = 1
Para el rey C⁴₁ = 4 Habrán 4 posibilidades, Planteamos la siguiente probabilidad
P(4,1) = C⁴₄*C⁴₁ /2598960
P(4, 1) = 1x4/2598960
P(4,1) = 1/649740
3.- Probabilidad de 3 dieces y 2 reinas es de P(3, 2) = 1/108290
- Para los dieces la combinación sera de
C₃⁴ = 4!/(4 - 3)!x3! = (4x3x2x1)/(1)(3x2x1) = 4
- Combinaciones de reinas
C₂⁴ = 4!/(4 - 2)!x2! = (4x3x2x1)/(2x1)(2x1) = 6
P(3, 2) = C₃⁴ C₂⁴ /2598960
P(3, 2) = 4x6 /2598960
P(3, 2) = 1/108290
4.- Probabilidad para un 9, 10, jota, reina y rey es P(9, 10, jota, reina, rey) = 64/162435
Este caso es particular por que para cada una de las cartas hay 4 posibilidades de sacar la carta por lo cual expresamos la combinación como potencia
- 4⁵P(9, 10, jota, reina, rey) = 4⁵/2598960
P(9, 10, jota, reina, rey) = 64/162435
5.- La probabilidad que salga 3 de un palo y 2 de otro es P(3, 2) = 429/4165
- Son 4 palos y como se quiere un 3 de un palo la combinación sera
4C¹³₃ = 4(13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)/(10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)(3x2x1)
4C¹³₃ = 1144
- 2 palo de otro (quedan 3 palos)
2C¹³₂ =3(13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)/(11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)(2x1)
2C¹³₂ = 234
P(3, 2) = 1144X234/2598960
P(3, 2) = 429/4165
6.- Nuestra ultima probabilidad de al menos un as es P(AS) = 18472/54145
Probabilidad de que no salga as dado por la combinación
C⁴⁸₅ = 1712307
P = C⁴⁸₅/2598960 = 35673/54145
P(AS) = 1 - 35673/54145
P(AS) = 18472/54145
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