Question

En la siguiente configuración de cargas, encuentre las componentes horizontal y vertical y su magnitud de la fuerza eléctrica resultante que se aplica sobre la carga ubicada en el vértice inferior izquierdo.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Fuerza Eléctrica

$\textbf{Problema :}$

En la siguiente configuración de cargas, encuentre las componentes horizontal y vertical junto a la magnitud de la fuerza eléctrica resultante, que se aplica sobre la carga ubicada en el vértice inferior izquierdo.

RESOLUCIÓN

Las cuatro cargas se encuentran en los vértices de un cuadrado, cuyo lado tiene una longitud $a$, por ende la diagonal tiene una longitud de $a \sqrt{2}$, graficando las fuerzas que actúan sobre la carga que se ubica en el extremo inferior izquierdo obtenemos las fuerzas $\overline{\textrm{F}}_{1}$, $\overline{\textrm{F}}_{2}$ y $\overline{\textrm{F}}_{3}$ tenga en cuenta que el ángulo que forma $\overline{\textrm{F}}_{1}$ con la horizontal es $45$ grados.

Descomponiendo $\overline{\textrm{F}}_{1}$ horizontal y verticalmente tenemos que las fuerzas horizontales y verticales son las siguientes.

$\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} = \overline{\textrm{F}}_{2} + \overline{\textrm{F}}_{1(x)} \cdot \textrm{sen}(45)$

$\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} = \overline{\textrm{F}}_{3} + \overline{\textrm{F}}_{1(y)} \cdot \textrm{sen}(45)$

Hallemos ahora el módulo de cada fuerzas

$| \overline{\textrm{F}}_{1} | \cdot \textrm{sen}(45) = \dfrac{\textrm{K} \cdot 2q^{2}}{2a^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \textrm{K} \cdot q^{2}}{2a^{2}}$

$| \overline{\textrm{F}}_{2} | = \dfrac{\textrm{K} \cdot 4q^{2}}{a^{2}}$

$| \overline{\textrm{F}}_{3} | = \dfrac{\textrm{K} \cdot 2q^{2}}{a^{2}}$

Con lo cual la resultante en la vertical y horizontal es.

$\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} = \dfrac{\sqrt{2} \textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}} + \dfrac{4 \textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{\textrm{a}^{2}} = \dfrac{(8+\sqrt{2}) \textrm{K} \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}}$

Del mismo modo en la vertical.

$\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(y)}} = \dfrac{\sqrt{2} \textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}} - \dfrac{\textrm{K} \cdot 2\textrm{q}^{2}}{\textrm{a}^{2}} = \dfrac{(\sqrt{2} - 4)\textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}}$

Solo nos queda obtener la magnitud o módulo de la Fuerza Resultante, y para ello usaremos la siguiente fórmula.

$| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R}} | ^{2} = | \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} | ^{2} + | \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(y)}} | ^{2}$

$| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} | ^{2} = \dfrac{(8 + \sqrt{2})^{2} \textrm{K}^{2} \cdot \textrm{q}^{4}}{4 \textrm{a}^{4}}$

$| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(y)}} | ^{2} = \dfrac{(\sqrt{2} - 4)^{2} \textrm{K}^{2} \cdot \textrm{q}^{4}}{4 \textrm{a}^{4}}$

$| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R}} | ^{2} = \dfrac{(84+8 \sqrt{2} ) \textrm{K}^{2} \cdot \textrm{q}^{4}}{4 \textrm{a}^{4}}$

$| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R}} | = \dfrac{\sqrt{84+8 \sqrt{2}}\ \textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2 \textrm{a}^{2}}$

RESPUESTA

$\boxed{\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(x)}} = \dfrac{(8+\sqrt{2}) \textrm{K} \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}}}$

$\boxed{\overline{\textrm{F}}_{\textrm{R(y)}} = \dfrac{(\sqrt{2} - 4)\textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2\textrm{a}^{2}}}$

$\boxed{| \overline{\textrm{F}}_{\textrm{R}} | = \dfrac{\sqrt{84+8 \sqrt{2}}\ \textrm{K} \cdot \textrm{q}^{2}}{2 \textrm{a}^{2}}}$