Question

Ayuda! Derivadas:

En una plaza cuadrada de lado “a” hay un foco luminoso en una esquina. Un hombre ubicado en el centro de la plaza camina con una velocidad de 4 m/seg. Sobre la diagonal hacia la esquina “A” según muestra la figura. Halle la variación del ángulo θ con respecto al tiempo en términos de “θ” y “a”.

Answer 1

Dado que la plaza es cuadrada y que el hombre está en el centro de la misma, nos apoyaremos en el Teorema de Pitágoras para hallar la variación del ángulo Ф con respecto al tiempo.

Explicación:

En la figura anexa apartado c) llamamos x a la distancia que separa el punto A del punto D, el centro de la plaza. Esta distancia se reduce a razón de 4 m/s en la medida que el hombre que está en D se desplaza hacia A.

De esa figura obtenemos:

SenФ  =  x/a

Si derivamos esta expresión implicitamente con respecto al tiempo, obtenemos:

CosФ (dФ/dt)  =  (1/a) (dx/dt)  

de aqui se despeja                    dФ/dt  =  (1/a)(SecФ) (dx/dt)

Conociendo que en el instante estudiado,  

dx/dt  =  -4   (la distancia x se está reduciendo)

entonces

dФ/dt  =  (4/a)(SecФ) rad/s

El apartado b) de la figura anexa nos muestra un triángulo rectángulo del cual se puede inferir que   Ф  =  π/4      en el instante estudiado, por lo que se puede decir que:

dФ/dt  =  $(4/a)(Sec\frac{\pi}{4})=\frac{4\sqrt{2} }{a}$ rad/s