Question

En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función:
E(d)=-3d^2+72d+243.
Donde d es el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. A continuación, aparece la gráfica de la función, donde el eje vertical representa número de personas afectadas, y el eje horizontal representa el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Determine:
El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
El número máximo de personas afectadas.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

Answer 1

La enfermedad desaparece en aquel valor de  d  que anula la ecuación; es decir, en sus raices. El número máximo de personas afectadas corresponde a un máximo local de la función. En el caso planteado, la enfermedad desaparece a los 12 días y afecta, como máximo, a 27 personas.

Explicación paso a paso:

1.- El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

Este número corresponde a aquel valor de  d  que anula la función  E.

$-3d^{2} +72d+243=0$    ⇒    $-3(d^{2} -24d-81)=0$    ⇒

-3(d-27)(d+3)  =  0    ⇒    d  =  27    ∨    d  =  -3

Por supuesto, el valor de interés es   d  =  27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

2.- El número máximo de personas afectadas.

Este número corresponde a aquel valor de  E  que se obtiene al evaluar la función en el valor extremo máximo relativo  d.

$-3d^{2} +72d+243=0$    ⇒    $-3(d^{2} -24d-81)=0$    ⇒

-3(d-27)(d+3)  =  0    ⇒    d  =  27    ∨    d  =  -3

Por supuesto, el valor de interés es   d  =  27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de E.

$E'=-6d +72$

E' = 0 ⇒ $-6d +72=0$   ⇒    d = 12

d  =  12  es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

E''  =  -6

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$E''_{(12)}<0$ ⇒ d = 12 es un máximo de la función E.

Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de  d  y obtenemos el valor máximo de   E;   es decir, el número máximo de personas afectadas.

$E_{(12)}=27$

3.- Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son aquellos intervalos, pertenecientes al dominio de la función, en los cuales la gráfica sube o baja, respectivamente; y se obtienen al realizar un estudio de signo del comportamiento de la función derivada, dividiendo su dominio en intervalos a partir de los puntos críticos.

En el caso estudiado, solo se tiene un punto crítico y, por ende, dos intervalos a revisar el comportamiento de la derivada:

Intervalo  d ∈ (-∞, 12)

Al evaluar la función derivada en cualquier valor de  d  perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor positivo.

Se concluye que la función  E  es creciente en el intervalo   d ∈ (-∞, 12).

Intervalo  d ∈ (12, +∞)

Al evaluar la función derivada en cualquier valor de  d  perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor negativo.

Se concluye que la función  E  es decreciente en el intervalo   d ∈ (12, +∞).