Respuestas
Área y perímetro de figuras compuestas. Obtener el área o perímetro es de las habilidades más fáciles y básicas en geometría. Sin embargo, al momento de combinar varias figuras planas se forma figuras compuestas, que pueden incluir: cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos, trapecio etc
Respuesta:
Calcular áreas de regiones que resultan de la composición de otras figuras planas conocidas.
Introducción
Ya vimos como calcular el área de figuras geometricas como triángulos, circulos, cuadrados, etc. Pero ¿Qué pasa si tenemos figuras como la siguiente?
Para poder calcular su área tendremos que descomponer la figura de tal manera que podamos utilizar las fórmulas de área de las figuras ya conocidas, en este caso del triángulo y del rectángulo.
En general, para calcular el área de figuras compuestas tendremos que descomponerlas en figuras conocidas como son los triángulos, cuadriláteros y círculos.
En esta aplicación se observa como podemos calcular áreas mas complejas a partir de unas mas sencillas. Mueve los puntos puntos rojos y observa como cambia el área superficial del puerto.
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Castro & Urdiales, Created with GeoGebra
Cálculo de áreas compuestas
El objetivo es determinar las áreas de regiones que resultan de la composición de otras figuras planas conocidas.
Ejemplos:
1. Hallar el área del trapecio ABCD; si el área del triángulo ABH es 8m 2 , además C D ‾ × A H ‾ = 24 m 2 .
Área del trapecio es:
A = C D ‾ + A B ‾ 2
A H ‾ = C D ‾ × A H ‾ + A B ‾ × A H ‾ 2 = C D ‾ × A H ‾ 2 + A B ‾ × A H ‾ 2
De los datos del problema el área del triángulo:
A Δ H A B = b a s e × a l t u r a 2 = A B ‾ × A H ‾ 2 = 8
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene:
A = C D ‾ × A H % ‾ 2 + A B ‾ × A H ‾ 2 = 24 2 + 8 = 20 m 2
2. Determine el área del triángulo AFD si A B ‾ = 3 m, y B F ‾ = 1 m.
Por el teorema de Pitágoras se tiene:
A F ‾ 2 = A B ‾ 2 + B F ‾ 2 = 3 2 + 1 2 = 10.
Asumiendo que la longitud del lado A D ‾ = b m, el área del triángulo AFD es:
A = A D ‾ × h 2 = b × h 2 ,
donde h = 3 m, se necesita hallar el valor de b . Por el teorema de Pitágoras, en el triángulo FCD:
F D ‾ 2 = F C ‾ 2 + C D ‾ 2 = ( b - 1 ) 2 + 3 2 = b 2 - 2 b + 1 + 9 = b 2 - 2 b + 10.
Por el teorema de Pitágoras, en el triángulo AFD:
A D ‾ 2 = A F ‾ 2 + F D ‾ 2 = 10 + b 2 - 2 b + 10 = b 2 ⇒ 2 b = 20 ⇒ b = 10
Por lo tanto, sustituyendo en:
A = b × h 2 = 10 × 3 2 = 15 m 2 .
3.Determine el área de la región sombreada
El área de la región sombreada es igual al área del rectángulo menos el área de la suma de los cuatro triángulos rectángulos.
Área del rectángulo: A0 = (2+4)× (4+5)=54
Triángulo superior izquierdo, sus catetos miden 2 y 6, respectivamente:
A1 = 1 2 ( 2 × 6 ) = 6
Triángulo superior derecho, sus catetos miden 3 y 3, respectivamente:
A2 = 1 2 (3×3) = 9 2
Triángulo inferior izquierdo, sus catetos miden 4 y 4, respectivamente:
A3 = 1 2 (4×4) = 8
Triángulo inferior derecho, sus catetos miden 5 y 3, respectivamente:
A4 = 1 2 (5×3) = 15 2
El área de la región sombreada es:
A = A 0 - A 1 - A 2 - A 3 - A 4 = 54 - 6 - 9 2 - 8 - 15 2 = 28
4. En la siguiente figura determine el área de la región sombreada si A B ‾ = 20 cm.
El segmento AB es tangente al círculo de radio r y el punto medio del segmento AB es un vértice del triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitud r, R, y 10 y por el teorema de Pitágoras se tiene:
R 2 = r 2 + 1 0 2 = r 2 + 100 ⇒ R 2 - r 2 = 100
El área de la región sombreada es igual a la diferencia del área del círculo de radio R menos el área del círculo de radio r, es decir:
A R = π R 2 - π r 2 = π ( R 2 - r 2 ) = 100 π